Polynom als Koordinatenvektor darstellen - Problem: Die Basen sind Komplex.

Question

Aufgabe:

Für die geordneten Basen

$B = ( \quad i, \quad iX, \quad X+X^2 \quad)$ und
$B' = ( \quad 2, \quad3X, \quad4X^2 \quad )$

des Komplexen Vektorraums $\mathbb{C}[X]_2$ der Polynome vom Grad kleiner oder gleich 2 und das Polynom $$p = 4X^2 + 2 \\ \, \, = (-2i)*i + (4i)*(iX) + (4)*(X+X^2) \\ \, \, = (1)*(2) + (0)*(3X)* 1*4X^2).$$

Gilt, 
$p_B = \begin{pmatrix} -2i\\4i\\4 \end{pmatrix}$  und $p_{B'} = \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix}$.

Problem/Ansatz:

Wie finde ich bei solchen Basen (komplexe Basen) auf einfache Art und Weise die Koeffizienten heraus ? 

Wenn Basisvektoren in Spaltenvektorenform gegeben sind, fällt es mir leicht die Koeffizienten zu bestimmen, denn dort kann ich ein Gleichungssystem aufstellen. 

Hier Fällt mir aber kein Verfahren ein.

Answer 1

Aloha :)

Du kannst für jeden einzelnen aktuellen Basisvektor die Darstellung in den neuen Basisvektoren bestimmen. In deinem Beispiel hast du den Vektorraum der 2-dim. Polynome mit der Standardbasis $S=\{1,x,x^2\}$ gegeben und sollst von da in die Basis $B=\{i,ix,x+x^2\}$ bzw. in die Basis $B'=\{2,3x,4x^2\}$ transformieren.

Du nimmst nun jeden Vektor der Standardbasis und drückst ihn durch die Zielbasis aus:

$$1=a\cdot i+b\cdot ix+ c\cdot(x+x^2)\;\;\Rightarrow\;\;(a,b,c)=\left(-i,0,0\right)$$$$x=a\cdot i+b\cdot ix+ c\cdot(x+x^2)\;\;\Rightarrow\;\;(a,b,c)=\left(0,-i,0\right)$$$$x^2=a\cdot i+b\cdot ix+ c\cdot(x+x^2)\;\;\Rightarrow\;\;(a,b,c)=\left(0,i,1\right)$$Die gefundenen Linearkombinationen trägst du nun als Spalten in eine Matrix ein und mutliplizierst diese Matrix mit der Darstellung des Vektors in der alten Basis:

$$2+4x^2=\left(\begin{array}{c}2\\0\\4\end{array}\right)\quad\to\quad\left(\begin{array}{c}-i & 0 & 0\\0 & -i & i\\0 & 0 & 1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}2\\0\\4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2i\\4i\\4\end{array}\right)$$Dasselbe nochmal für $B'$:

$$1=a\cdot 2+b\cdot 3x+ c\cdot4x^2\;\;\Rightarrow\;\;(a,b,c)=\left(\frac{1}{2},0,0\right)$$$$x=a\cdot 2+b\cdot 3x+ c\cdot4x^2\;\;\Rightarrow\;\;(a,b,c)=\left(0,\frac{1}{3},0\right)$$$$x^2=a\cdot 2+b\cdot 3x+ c\cdot4x^2\;\;\Rightarrow\;\;(a,b,c)=\left(0,0,\frac{1}{4}\right)$$Und nun wieder alle Linearkombinationen als Spalten in eine Matrix eintragen und mittels Matrixmultiplikation die Darstellung in der neuen Basis ausrechnen:

$$2+4x^2=\left(\begin{array}{c}2\\0\\4\end{array}\right)\quad\to\quad\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2} & 0 & 0\\0 & \frac{1}{3} & 0\\0 & 0 & \frac{1}{4}\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}2\\0\\4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\0\\1\end{array}\right)$$