Aufgabe:
In jeder der drei Teilaufgaben geht es um einen anderen Vektorraum. In der ersten um den \( \mathbb{R}^{3} \), in der zweiten um den Vektorraum der reellen oberen Dreiecksmatrizen vom Format \( 2 \times 2 \), in der dritten um den Vektorraum der Polynome \( \mathbb{R}_{\leq 2}[x] . \) Gegeben ist jeweils eine Basis und ein Vektor. Gesucht ist der zugehörige Koordinatenvektor.
Konkret sind die Basen \( \mathscr{B}_{1}, \mathscr{B}_{2}, \mathscr{B}_{3} \) des jeweiligen Vektorraums und die Vektoren \( \vec{v}, M, p \) im Aufgabenteil des Applets zu finden.
a) Was ist der Koordinatenvektor von \( \vec{v} \) in der Basis \( \mathscr{B}_{1} \) ?
b) Was ist der Koordinatenvektor von \( M \) in der Basis \( \mathscr{B}_{2} ? \)
c) Was ist der Koordinatenvektor von \( p \) in der Basis \( \mathscr{B}_{3} \) ?
Aufgabe a)
Vektorraum \( V_{1}=\mathbb{R}^{3} \)
\( \mathcal{B}_{1}=\left|\left[\begin{array}{c}3 \\ 2 \\ -2\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}2 \\ -2 \\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}-5 \\ -9 \\ -8\end{array}\right]\right| \)
Basis von \( V_{1}, \vec{v}=\left[\begin{array}{c}3 \\ 21 \\ 0\end{array}\right] \in V_{1} \)
\( \vec{v}_{\mathscr{B}_{1}}= \begin{pmatrix} ? \\ ? \\ ? \end{pmatrix}\)
Aufgabe b)
Vektorraum \( V_{2}=A \in \mathbb{R}^{2,2} \mid \) A obere Dreiecksmatrix
\( \left.\mathcal{B}_{2}=\mid\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 0 & -3\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}0 & -1 \\ 0 & 3\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}3 & -4 \\ 0 & 2\end{array}\right]\right) \)
Basis von \( V_{2}, \quad M=\left[\begin{array}{ll}5 & -14 \\ 0 & 19\end{array}\right] \in V_{2} \)
\( \vec{M}_{\mathscr{B}_{2}}= \begin{pmatrix} ? \\ ? \\ ? \end{pmatrix}\)
Aufgabe c)
Vektorraum \( V_{3}=\mathbb{R}_{\leq 2}[x] \)
\( \mathcal{B}_{3}=\left\{x^{2}-2,3 \cdot x^{2}-3 \cdot x,-8 \cdot x^{2}-3 \cdot x-5\right\} \)
Basis von \( V_{3} \), \( p=5 \cdot x^{2}+18 \cdot x+8 \in V_{3} \)
\( \vec{p}_{\mathscr{B}_{3}}= \begin{pmatrix} ? \\ ? \\ ? \end{pmatrix}\)
