Zeige, daß B1 und B2 zwei Basen im Vektorraum der Polynome 3. Grades sind. Welche Dimension hat P3 folglich?

Question

Aufgabenstellung:

Sei \( \mathrm{P}_{3}:= \{\mathrm{p}: \text { p ist reelles Polynom vom Grad } \leq 3\} \)

Seien

\( \mathrm{B}_{1}:=\left\{1, \mathrm{x}, \mathrm{x}^{2}, \mathrm{x}^{3}\right\} \)
\( \mathrm{B}_{2}:= \left\{1,1+x, 1+x+x^{2}, 1+x+x^{2}+x^{3}\right\} \)

(i) Zeige, dass \( B_1 \) und \( B_2 \) zwei Basen im Vektorraum \( P_3 \) sind. Welche Dimension hat \( P_3 \) folglich?

(ii) Das Koordinatentupel eines Elementes p aus \( \mathrm{P}_{3} \) bzgl.  \( B_{1} \) laute \( <6,3,5,4>. \) Wie lautet es bezüglich \( B_2 \)?

Answer 1

B1 ist offensichtlich eine Basis des vierdimensionalen Vektorraumes P3.

Um zu zeigen, dass B2 ebenso eine Basis dieses Vektorraumes ist, müssen alle Basiselemente von B1 durch Elemente aus B2 darstellbar sein:

1 = 1. ✓

x = (1 + x) - 1. ✓

x^2 = (1 + x + x^2) - (1 +x). ✓

x^3 = (1 + x + x^2 + x^3) - (1 + x + x^2). ✓

Nun ist alles gezeigt.

Das Polynom p lautet offenbar p = 6 + 3x + 5x^2 + 4x^3.

Über die oben gewählte Darstellung der Elemente von B1 lässt sich das Polynom aus Elementen von B2 zusammensetzen:

p = 6 + 3((1 + x) - 1) + 5((1 + x + x^2) - (1 +x)) + 4((1 + x + x^2 + x^3) - (1 + x + x^2))

= 6 + 3(1 + x) - 3(1) + 5(1 + x + x^2) - 5(1 + x) + 4(1 + x + x^2 + x^3) - 4(1 + x + x^2)

= 3 - 2(1 + x) + (1 + x + x^2) + 4 (1 + x + x^2 + x^3).

Das Koordinatentupel des Polynomes p bezüglich der Basis B2 lautet also <3, -2, 1, 4>.

MfG

Mister