Ganzrationale Funktion vierten Grades

Question

Aufgabe:

Eine Doppelrutsche soll durch den Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades beschrieben werden.

Eigenschaften:

- achsensymmetrisch

- 0,9m hoch

- 1,95m breit

Problem/Ansatz:

Bedingungen:

f(1,95)=0

f(-1,95)=0

f'(1,95)=0

f'(-1,95)=0

f(0)=0,9

f'(0)=0

Hochpunkt bei H (0/0,9)

Tiefpunkte bei T1(1,95/0) und T2(-1,95/0)

Answer 1

Die doppelten Bedingungen könntest du dir auch sparen, indem du die eigentliche allg. Funktionsgleichung \(f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\) umformst zu \(f(x)=ax^4+cx^2+e\), da bei einer Achsensymmetrie zur y-Achse alle Terme mit ungeraden Potenzen entfallen.

Die Bedingungen lauten:

f(0) = 0.9 ⇔ e = 0.9
f'(0) = 0 ⇔ wahr
f(1.95) = 0 ⇔ 1.95^4 * a + 3.8025 c + e = 0 ⇔ 1.95^4 * a + 3.8025 c = -0.9
f'(1.95) = 0 ⇔ a + 200/1521 c = 0

Das ergibt die ungefähre Funktionsgleichung f(x) = 0.062x^4 - 0.473x^2 + 0.9.

Answer 2

$$f(x)=a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$$

Ansatzverbesserungen:

Funktion ist asymmetrisch, d.h. f(x)=f(-x) und somit a₃=a₁=0

Demzufolge: $$f(x)=a_4x^4+a_2x^2+a_0$$

$$f'(x)=4a_4x^3+2a_2x$$

Somit werden auch die Angaben f'(0)=0, f(-1,95)=0, f'(-1,95)=0 irrelevant.

Nötige Angaben somit:

1) $$f(0)=0,9$$

2) $$f(1,95)=0$$

3) $$f'(1,95)=0$$

Aus 1) folgt a₀=0

Aus 2) folgt:

$$0=14,45900625a_4+3,8025a_2+a_0$$

Und somit $$-0,9=14,45900625a_4+3,8025a_2$$

Aus 3) folgt:$$0=29,6595a_4+3,9a_2$$

Nach Gauß'schem Eliminierungsverfahren somit:

$$\frac{24}{13}=-29,6595a_4-\frac{39}{5}a_2$$

Addiert mit 3) somit zu:

$$\frac{24}{13}=-3,9a_2$$

und somit $$a_2=\frac{-80}{169}$$

Daraus folgt: $$a_4=\frac{16000}{257049}$$

Somit ist $$f(x)=\frac{16000}{257049}x^4-\frac{80}{169}x^2+0,9$$