Terrassenpunkt/Sattelpunkt bei e-Funktionen?

Question

ich lerne gerade die natürliche Exponentialfunktion (e-Funktionen) kennen und paar Fragen blieben mir offen:

1. Kann eine e-Funktion auch Sattelpunkte/Terrassenpunkte besitzen? Wenn Ja, würde mir ein Beispielfunktion sehr weiterhelfen...

2. Eine e-Funktion hat unter bestimmte Voraussetzungen ein Extrempunkt. D.h. Wenn die e-Funktion verschachtelt/verkettet ist. Heißt es also auch, wenn die e-funktion NICHT verschachtelt ist, keine waagerechte Tangente besitzt?

Comments

Was soll den "eine" e-Funktion heißen ?

Es gibt eigentlich nur eine:   f(x) = e^x

oder ist sowas wie    (x+2)*e^x auch zugelassen ?

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Also bei Frage 1 meine ich solche e-funktionen: f(x)=(x+2)*e^x  (verkettete)

Und bei Frage 2 sind solche e-Funktionen gefragt: f(x)=e^x

Answer 1

1. Wenn du nur sowas betrachtest wie (ax+b)*e^x

gibt es keine Sattelpunkte, da beim Wendepunkt nie

die Ableitung = 0 ist.

2. Da bei e^x die Abl. auch wieder e^x ist, gibt es keine

Stellen mit waagerechter Tangente.

Comments

Das heißt, dass natürliche Exponentialfunktionen nie Sattelpunkte haben?

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Das heißt, dass Funktionen von der Art (ax+b)*e^x

 nie Sattelpunkte haben.

Answer 2

1.

Die normale Exponentialfunktion y = a*b^x oder auch die e-Funktion y = a*e^(kx) sind streng monoton steigende oder fallende Funktionen. Haben also keine waagerechte Tangente und auch keinen Hoch oder Tiefpunkt.

2.

Ja.

~plot~ e^x·(x^2 - 4·x + 5);[[-10|3|-1|10]] ~plot~

Answer 3

Vorab: "Verschachtelt", bzw. "Verkettet" bedeutet normalerweise, dass eine Funktion f(x) aus einer äußeren Funktion u(x) und einer inneren Funktion v(x) aufgebaut ist, z.B.

$$f(x)=(2+x)^3$$

Zu Frage 1.) und 2.)

Beispielfunktion: $$f(x)=e^x-\frac{1}{2}x^2-x$$

besitzt einen Sattelpunkt bei P(0|1), da f'(x)=0 und f''(x)=0, aber f'''(x)=/=0.

Eine "normale" oder "verschachtelte" Exponentialfunktion (a, b, d, x ∈ R | a, b =/= 0)

$$g(x)=a*e^{b*x+d}$$

$$g'(x)=a*b*e^{b*x+d}$$

$$g''(x)=a*b^2*e^{b*x+d}$$

$$g'''(x)=a*b^3*e^{b*x+d}$$

ohne zusätzliche Terme kann keinen Sattelpunkt (oder Extrempunkt) besitzen, da sie lediglich aus einem Produkt von Termen (mind. 1 in Abhängigkeit von x) aufgebaut ist.

Allerdings gibt es z.B. auch eine Exponentialfunktion mit dem Argument in höherer Potenz

$$h(x)=e^{x^3}$$

die den Punkt P(0|1) als Sattelpunkt besitzt.