Parametervariation bei ganzrationalen Funktionen

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die funktionen fa mit fa(x)=ax^2-3ax+1 , a ungleich null. Zeigen sie: die Gleichung  der Tangente an den Graphen von fa an der stelle x=1 lautet y=-ax+1-a. Ermitteln sie für welchen Wert von a diese Tangente durch den Koordinatenursprung geht.

Problem/Ansatz:

Ich hab leider absolut keine Ahnung wie ich an die Aufgabe rangehe Bzw. verstehe nicht was ich machen muss.

Answer 1

Tangentengleichung ermitteln:

f_a'(1) = 2a*1 -3a = -a

Vorläufige TG: y = -ax + b

f_a(1) = 1 - 2a
b: 1 - 2a = -a * 1 + b  ⇔  b = 1-a

Somit lautet die TG: y = -ax + 1 - a

Answer 2

Hallo Lucy,

für die Tangentengleichung ta(x)=mx+b brauchst du die 1. Ableitung, die die Steigung angibt.

fa(x)=ax²-3ax+1

fa'(x)=2ax-3a

An der Stelle x=1 bedeutet, dass ta(1)=fa(1) ist. Außerdem ist m=fa'(1)=2a-3a=-a

ta(1)=m+b=-a+b

fa(1)=a-3a+1=-2a+1

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Die letzten beiden Ausdrücke müssen gleich sein, also

-a+b=-2a+1

Das ergibt b=-a+1

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m und b haben wir nun und erhalten ta(x) = -ax -a+1. Das ist das Gleiche wie ta(x) = -ax +1 -a.

Dass ta(x) für y steht, weißt du bestimmt.

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Der zweite Teil ist nun einfach, wenn du weißt, dass die Gerade gesucht ist, für die der y-Achsenabschnitt null ist.

b=-a+1=0 ⇒ a=1

Fertig!