Extremstellen einer Kurvenschar bestimmen? fa(x) = x³-ax, a>0

Question

Aufgabe:

Die Scharfunktion lautet : fa(x) = x³-ax, a>0 (ergänzt).

Extremstellen untersuchen.

Kopie aus Kommentar. Führen Sie eine Kurvendiskussion der Kurvenschar fa furch. Skizzieren Sie die zu den angegebenen Parameter gehörigen Graphen. a)fa(x) = x^{3} - ax , a>0

Problem/Ansatz:

Die erste Ableitung wäre f´a(x)=3x²-a

Die erste Ableitung wird gleich 0 gesetzt und als Nullstellen habe ich raus : x1= \( \sqrt{\frac{a}{3}} \) v  x2= - \( \sqrt{\frac{a}{3}} \)

Danach habe ich erstmal einen der  X-Werte in die Ausgangsgleichung eingesetzt

fa(\( \sqrt{\frac{a}{3}} \)) = \( \sqrt{\frac{a}{3}} \) • \( \sqrt{\frac{a}{3}} \) • \( \sqrt{\frac{a}{3}} \) - a • \( \sqrt{\frac{a}{3}} \)

\( \sqrt{\frac{a}{3}} \) • \( \sqrt{\frac{a}{3}} \) • \( \sqrt{\frac{a}{3}} \) sollte , falls ich alles verstanden habe , ergeben  \( \frac{a}{3} \)^1,5 (falls nicht korriegiert mich bitte^^).

Danach weiß ich nicht mehr weiter. Ich würde mich freuen, wenn sich jemand die Zeit nehmen würde und es mir kurz erklären würde.Ich wäre der Person sehr dankbar^^

Comments

Wenn nichts zu a vorgegeben ist, musst du im Reellen Fallunterscheidungen durchführen.

Steht da vielleicht als Hilfe bereits:

Die Scharfunktion fa(x) = x³-ax für a>0 auf  Extremstellen untersuchen

?

Dann könntest du auf die Fallunterscheidung verzichten.

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Ich bin grad etwas verwirrt sorry ^^. Ich wollte nur wissen wie man den Hochpunkt und den Tiefpunkt der Funktionsschar bekommt. Tschakabumba hat es ausführlich erklärt und ich habe es nun verstanden.

~plot~ x^3-2x;x^3-(-0.2)*x; ~plot~

Hier der Grund, warum das nicht für jedes reelle a so geht, wie du das berechnest.

Daher nun bitte die genaue Fragestellung angeben.

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Übung 2

Führen Sie eine Kurvendiskussion der Kurvenschar fa furch. Skizzieren Sie die zu den angegebenen Parameter gehörigen Graphen.

a)fa(x) = x^3 - ax , a>0

Skizze : a=3, a=1 , a=6

Hoffe das beantwortet deine Frage.

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Das ist gut so, da es die Fälle, bei denen wie bei der roten Kurve keine Hochpunkte vorkommen, ausschliesst. Ich ergänze oben a>0, damit die Antworten nicht als unvollständig oder gar falsch angesehen werden.

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Alles klar , danke dir . ^^

Answer 1

Aloha :)

In der Funktionsgleichung kannst du \(x\) ausklammern:

$$f_a(x)=x^3-ax=x(x^2-a)$$Darin kannst du nun die beiden Extremwert-Kandidaten \(\pm\sqrt{\frac{a}{3}}\) einsetzen:

$$f_a\left(\sqrt{\frac{a}{3}}\right)=\sqrt{\frac{a}{3}}\left(\left(\sqrt{\frac{a}{3}}\right)^2-a\right)$$$$f_a\left(-\sqrt{\frac{a}{3}}\right)=-\sqrt{\frac{a}{3}}\left(\left(-\sqrt{\frac{a}{3}}\right)^2-a\right)$$und die Klammern ausrechnen:

$$f_a\left(\sqrt{\frac{a}{3}}\right)=\sqrt{\frac{a}{3}}\left(\frac{a}{3}-a\right)\quad;\quad f_a\left(-\sqrt{\frac{a}{3}}\right)=-\sqrt{\frac{a}{3}}\left(\frac{a}{3}-a\right)$$$$f_a\left(\sqrt{\frac{a}{3}}\right)=\sqrt{\frac{a}{3}}\left(-\frac{2}{3}a\right)\quad;\quad f_a\left(-\sqrt{\frac{a}{3}}\right)=-\sqrt{\frac{a}{3}}\left(-\frac{2}{3}a\right)$$$$f_a\left(\sqrt{\frac{a}{3}}\right)=-\frac{2}{3}a\sqrt{\frac{a}{3}}\quad;\quad f_a\left(-\sqrt{\frac{a}{3}}\right)=\frac{2}{3}a\sqrt{\frac{a}{3}}$$Das könntest du jetzt noch "schöner" schreiben, indem du alle Konstanten zu einem Faktor zusammenziehst:$$\frac{2}{3}a\sqrt{\frac{a}{3}}=\frac{2}{3\sqrt3}a\sqrt a=\frac{2\sqrt3}{3\underbrace{\sqrt3\sqrt3}_{=3}}a\sqrt a=\frac{2\sqrt3}{9}a\sqrt a$$

Comments

Ich danke dir vielmals.

Answer 2

Die Scharfunktion lautet : fa(x) = x³-ax , Extremstellen untersuchen

Vorab
Eine Stelle hat nur eine Koordinate ( x - Wert )
Ein Punkt hat 2 Koordinaten ( x | y )

1.Ableitung
f ´( x ) = 3 * x^2 - a
Stelle mit wagerechter Tangente
3 * x^2 - a = 0
3 * x^2 = a
x = ± ✓ (a/3)
Bedingung a > 0

2.Ableitung
f ´´ ( x ) = 6 * x
Einsetzen
6 *  + ✓ (a/3) = positiv => Tiefpunkt
6  * - ✓ (a/3) = negativ => Hochpunkt

Bitte nachsehen ob irgendwo ein Fehler ist.

Comments

Ich finde die Schreibweise nicht gut. Mit LaTeX wäre es schöner.

Ohne LaTeX ist √ für Wurzel besser als ✓.

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Ich finde die Schreibweise nicht gut.
Mit LaTeX wäre es schöner.

Da stime ich dir zu

... aber ich bin ein alter Mann.
Latex lerne ich nicht mehr.

 

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Tipp:
6 *  + ✓ (a/3) = positiv => Tiefpunkt
6  * - ✓ (a/3) = negativ => Hochpunkt
verändern zu:
6 *  (+ ✓ (a/3)) = positiv => Tiefpunkt
6  * (- ✓ (a/3) )= negativ => Hochpunkt

Hier sind die eingefügten Klammern nötig. 

√ dieses Zeichen für Wurzel erzeuge ich mit meiner Tastatur als

Kombination von alt und v.

Grundsätzlich ist aber eine Fallunterscheidung nötig (z.B. a<0, a=0, a>0), es sei denn xCroso hat die Fragestellung unvollständig gestellt. 

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Ich bin grad etwas verwirrt sorry ^^. Ich wollte nur wissen wie man den Hochpunkt und den Tiefpunkt der Funktionsschar bekommt. Tschakabumba hat es ausführlich erklärt und ich habe es nun verstanden.

Answer 3

Klammere \( \sqrt{\frac{a}{3}} \) aus und fasse in der Klammer zusammen.

Comments

also ist  fa(\( \sqrt{\frac{a}{3}} \) ) = \( \sqrt{\frac{a}{3}} \) - \( \frac{2a}{3} \) = \( \frac{-1}{2} \)   ?

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Das ist zweimal falsch. \(-\frac{2a}{3}\) muss multipliziert werden. Siehe Tschakas Antwort. Wie du auf -0,5 am Ende kommst, ist mir ein Rätsel. Es ist auf jeden Fall falsch.