Zeigen Sie, dass die Nullstellen von fa und ga für alle a 0 übereinstimmen.

Question

Aufgabe:

Gegeben sind fa und ga mit fa(x)=1÷6x^3-a^2÷4x^2 und ga(x)=-1÷ax^2+3a÷2x.

a) Zeigen Sie, dass die Nullstellen von fa und ga für alle a>0 übereinstimmen.

b) Bestimmen Sie die Hochpunkte der Graphen von ga in Abhängigkeit von a. Berechnen Sie, für welche Werte von a der Hochpunkt der Graphen von ga oberhalb der Geraden g mit g(x)=4,5 liegt.

c) Berechnen Sie die Hoch- und Tiefpunkte von fa in Abhängigkeit von a.

Answer 1

f(x)=\( \frac{1}{6x^3} \)-\( \frac{a^2}{4x^2} \)

g(x)=-\( \frac{1}{ax^2} \)+\( \frac{3a}{2x} \)

\( \frac{1}{6x^3} \)-\( \frac{a^2}{4x^2} \)=0|*12x^3

2-3a^2*x=0

x=\( \frac{2}{3a^2} \)

-\( \frac{1}{ax^2} \)+\( \frac{3a}{2x} \)=0|*2ax^2

-2+3a^2*x=0

x=\( \frac{2}{3a^2} \)

Comments

Warum bearbeitest du denn eine ganz andere Aufgabe ?

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Es ist ja bemerkenswert, dass es bei der 1. Version auch Gleichheit der beiden Nullstellen gibt.

fa(x)=1/6x^3-a^2/4*x^2 und ga(x)=-1/a*x^2+3a/2*x

1/6x^3-a^2/4*x^2=0

x^2(1/6x-a^2/4)=0

x(1,2)=0 doppelte Nullstelle

1/6x-a^2/4=0

1/6x=a^2/4

x₃=3/2a^2

-1/a*x^2+3a/2*x=0

x*(-1/a*x+3a/2)=0

x₁=0

-1/a*x+3a/2=0

1/a*x=3a/2

x₂=3a^2/2

Die Nullstelle ändert sich auch nicht bei a<0 (weil a^2)

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Es ist ja bemerkenswert, dass es bei der 1. Version auch Gleichheit der beiden Nullstellen gibt.

Ebenfalls bemerkenswert ist, dass sich auch das Ergebnis von bii) nicht ändert.