Aufgabe:
$$ \begin{array}{l}{\text { Der Landwirt Alwin züchtet Wassermelonen. Aufgrund einer neuen Melonenverordnung }} \\ {\text { der EU müssen Alwins Melonen fortan in Grösse und Farbe einer strengen Norm entspre-}} \\ {\text { chen. Abweichungen in Farbe und Grösse seien durch zwei unabhängige standardnormal- - }} \\ {\text { verteilte Zufallsvariablen } X \text { und } Y \text { gegeben. Die EU-Norm fordert, dass die Summe der }} \\ {\text { quadratischen Abweichung } Z=X^{2}+Y^{2} \text { nicht gröBer als } 4 \text { ist. Bestimmen Sie die Dichte }} \\ {\text { von } Z \text { und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der eine Melone die EU-Norm erfüllt. }}\end{array} $$
$$\text { Hinweis: Sie dürfen verwenden, dass } \int_{0}^{\alpha} 1 /(\sqrt{t} \cdot(\alpha-t)) d t=\pi \text { für } \alpha>0 \text { gilt. }$$
Problem/Ansatz:
Die Herleitung der Dichte ist mir soweit klar, ich stehe allerdings wegen der Frage am Ende auf dem Kopf. Die Dichte ist folgende:
$$f_{Z}(z)=\frac{\exp (-1 / 2 \cdot z)}{2 \pi} \cdot \pi=\frac{1}{2} \cdot e^{-1 / 2 \cdot z}$$
Zum Bestimmen der Wahrscheinlichkeit, dass die Melone die EU-Norm erfüllt geht die Musterlösung wie folgt vor:
$$\begin{array}{l}{\text { für } z>0 . \text { Wir stellen fest, dass } Z \text { einer mit Parameter } \lambda=1 / 2 \text { exponentialverteilten Zu- }} \\ {\text { fallsvariable entspricht. Laut Angabe erfüllt eine Melone die EU-Richtlinien, wenn } Z \leq 4} \\ {\text { gilt. Die Wahrscheinlichkeit hierfür beträgt }}\end{array}$$
$$\operatorname{Pr}[Z \leq 4]=1-e^{-1 / 2 \cdot 4} \approx 0,86466$$
Mir ist unklar, warum jetzt auf einmal 1-e^... und warum auch 1 - e und nicht einfach die 4 in die ermittelte Dichtefunktion einsetzen? Stehe wohl gerade etwas auf dem Schlauch.
Vielen Dank im Voraus!
