Parabelschar mit Parameter t: hat eine Nullstelle bei 0 und den Scheitelpunkt St(t | 5).

Question

Die aufgabe lautet:

Für eine Schar von Parabeln gilt: die zum Parameter t gehörende Parabel ist nach unten geöffnet, hat eine Nullstelle bei 0 und den Scheitelpunkt S_t(t | 5).
Bestimmen sie einen Funktionsterm.

 

Also weis man ja, dass m negativ sein muss, da sie nach unten geöffnet ist. Außerdem ist N₁(0 | 0) und hat den Scheitelpunkt S_t(t | 5).

Aber wie muss ich jetzt weiter vorgehen?

Ich habe es mal in die Scheitelform eingesetzt: y= (x-t)² + 5

Daraus folgt: y= x²+2tx  + t² +5

Aber was jetzt?

 

Hoffe mir kann jemand helfen :)

Answer 1

Die Öffnung kann noch varieren: Daher

y= a(x-t)² + 5

     =  ax² - 2atx  + at² +5

Nun kennst du noch eine Nullstelle.

Daher gilt: 0 = a(-t)^2 + 5

at^2 = -5

a = -5/t^2

Also

y = -5/t^2 (x-t)^2 + 5 ist die Gleichung der gesuchten Parabelschar.

Wenn du willst, kannst du noch ausmultiplizieren.

Daraus folgt: y= -5/t^2 * x²+10/t *x  -5  +5 = -5/t^2 * x²+10/t *x  = x*(-5/t^2 * x + 10/t ) 

Hier kannst du noch ablesen, dass die 2. Nullstelle bei x=2t liegt. Der Scheitelpunkt liegt aus Symmetriegründen bei x = t, wie verlangt.

Comments

Ahhh ok. jetzt hab ichs verstanden. Klar.. des mit dem m bzw. a kann ja noch waareieren....  total verpennt^^

 

Aber dann nochmal eine frage, und zwar haben wir noch so eine ähnliche Aufgabe bekommen:

Man hat zwei nullstellen: x₁=-a   und x₂=3a, der scheitel der zugehörigen Parabel hat den Ordinatenwert 2.

vorallem was ist überhaupt der Ordinatenwert?

Und wie muss ich da jetzt vorgehen? Könntest du mir da vielleicht nochmal helfen?

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https://de.wikipedia.org/wiki/Kartesisches_Koordinatensystem: "

Als Eselsbrücke kann man sich merken, dass immer die jeweils im Alphabet vorne stehenden und hinten stehenden Bezeichnungen zusammengehören:  zu Abszisse und  zu Ordinate. Noch eine Eselsbrücke: Die Ordinatenachse zeigt (bei positiven -Werten) nach oben – die Abszissenachse muss also (bei positiven -Werten) nach rechts zeigen."

Der y-Wert des Scheitelpunktes ist also 2.

zwei nullstellen: x₁=-a   und x₂=3a.

In der Mitte bei x = (-a + 3a)/2 = a liegt der Scheitelpunkt.

Also Scheitelpunkt S(a, 2).

Jetzt Ansatz y = m(x-a)^2 + 2.

m berechnen mit Einsetzen der NS: 

0 = m(-a-a)^2 + 2

0 = 4ma^2 + 2

-2 = 4ma^2

-1/(2a^2) =m

Nun kannst du bestimmt selbst erst mal nachrechnen und dann noch fertig machen.

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ou man....

klar.. mein größter fehler war, dass mir nich klar war, dass die Ordinate theoretisch einfach die Y-Achse ist^^ und auch dass man die beiden nullstellen einfach halbiert für die x-Koordinate^^

 

Ja habs nachgerechnet und komm endlich zu einem ergebnis^^ vielen dank :)

y= -1/(2a²) * (x-a)² +2