Funktion auf Monotonie in einem Intervall untersuchen

Question

Ein Unternehmen hat ein neues Produkt eingeführt. Die Umsatzzahlen können in den ersten 12 Monaten durch die Funktion f(t) = -5t^2+130t angenähert werden. t = Zeit in Monaten.

a) Untersuchen Sie die Funktion f auf Monotonie im Intervall [0;12] und interpretieren Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang.

b) Untersuchen Sie das Krümmungsverhalten der Funktion. Wie wird sich der Umsatz in Zukunft entwickeln, wenn sich der aktuelle Trend fortsetzt?

Komme gar nicht zu recht, da dies eine Funktion 2. Grades ist und es nicht möglich ist, einen Wendepunkt zu berechnen. Hoffe, dass mir einer mit Rechenweg diese Aufgabe erklären kann.

Answer 1

f(t) = -5t^2+130t

==> f ' (t) = -10t + 130

im Bereich von 0 bis 12 hat -10t einen Wert zwischen 0 und -120

also -10t + 130 einen Wert zwischen 130 und 10 , jedenfalls

immer positiv, also ist f dort streng mon. steigend.

b) f ' ' (t) =  -10 < 0

==>   Funktionsgraph ist rechtsgekrümmt.

Wenn sich der aktuelle Trend fortsetzt nimmt die Steigung immer weiter ab,

und wird dann auch negativ. Das führt zu abnehmenden Werten

bei den Umsatzzahlen.

Answer 2

Aloha :)

a) Die erste Ableitung einer Funktion gibt ihre Steigung an. Solange die Steigung positiv ist, wächst die Funktion an. Wenn die Steigung negativ ist, fällt die Funktion. Hier ist die erste Ableitung:

$$f'(t)=-10t+130>0\quad\text{für}\quad t\in[0;12]$$Während der gesamten 12 Monate ist der Umsatz also gewachsen.

b) Die zweite Ableitung einer Funktion gibt ihr Krümmungsverhalten an. Für \(f''(t)>0\) ist die Funktion links gekrümmt, für \(f''(t)<0\) ist die Funktion rechts gekrümmt. Hier ist die zweite Ableitung:

$$f''(t)=-10<0\quad\Rightarrow\quad\text{rechts gekrümmt}$$

Der Umsatz befindet sich auf einer Rechtskurve, d.h. nach Erreichen eines Maximums wird es wieder bergab gehen und der Umsatz wird wieder schrumpfen. Wenn sich dieser Trend fortsetzt, kann der Umsatz sogar negativ werden und der Firma droht die Pleite.