Es seien X,Y Zufallsgrößen mit σ2x=3, σ2y=5 und σxy=−2. Berechnen Sie Cov(3X−Y,X+2Y)?

Question

Aufgabe:

Es seien X,Y Zufallsgrößen mit σ2x=3, σ2y=5 und σxy=−2. Berechnen Sie Cov(3X−Y,X+2Y).

Problem/Ansatz:

Lösung= -11

Könnte mir vielleicht jemand beim Lösungsweg helfen?

Answer 1

Aloha :)

$$\text{Cov}\,(3X-Y,X+2Y)$$$$=\text{Cov}\,(3X-Y,X)+\text{Cov}\,(3X-Y,2Y)$$$$=\text{Cov}\,(3X,X)+\text{Cov}\,(-Y,X)+\text{Cov}\,(3X,2Y)+\text{Cov}\,(-Y,2Y)$$$$=3\cdot\text{Cov}\,(X,X)-\text{Cov}\,(Y,X)+3\cdot2\cdot\text{Cov}\,(X,Y)-2\cdot\text{Cov}\,(Y,Y)$$$$=3\cdot\text{Var}\,(X)+5\cdot\text{Cov}\,(X,Y)-2\cdot\text{Var}\,(Y)$$$$=3\sigma_x^2+5\sigma_{xy}-2\sigma_y^2$$$$=3\cdot3+5\cdot(-2)-2\cdot5$$$$=-11$$

Comments

Vielen Dank für die rasche Hilfe!

Answer 2

Hier kann man folgende Formel anwenden

Ausserdem gilt Cov(X,Y) = Cov(Y,X)

a1 = 3, a2 = -1, X1 = X, X2 = Y
b1 = 1, b2 = 2, Y1 = X, Y2 = Y

a1*b1*Cov(X1,Y1) + a1*b2*Cov(X1,Y2) + a2*b1*Cov(Y2,X1) + a2*b2*Cov(Y2,Y2)
3*Cov(X,X) + 6*Cov(X,Y) -1*Cov(Y,X) -2*Cov(Y,Y)
3*3 + 6*(-2) + -1*(-2) -2*5
9 -12 +2 -10 = -11