Garderobenproblem: Wahrscheinlichkeitsrechnung für Ai

Question

Ich habe eine Frage zum Garderobenproblem von Montmort. Mir ist bewusst, dass dieses Rencontre-Problem des Öfteren im Forum gestellt worden war. Jedoch konnte ich bei diesen beiden Fragen nicht die richtige Antwort finden.

(a) Drücke das Ereignis Ai =“i-te Person bekommt ihren eigenen Mantel” aus. Berechne die Wahrscheinlichkeit von Ai.

(b)Drücke formell das Ereignis die Personen i1, ..., ik bekommen ihren eigenen Mantel aus (wobei 1 ≤ i1 < ··· < ik ≤ n) und berechne dessen Wahrscheinlichkeit.

Mein Ansatz:

Wir können ja mit dieser Formel hantieren:

$$P ( A _ { 1 } \cup \cdots \cup A _ { n } ) = \sum _ { k = 1 }^{n} ( - 1 ) ^ { k + 1 } \sum _ { 1 \leq i _ { 1 } < \cdots < i _ { k } \leq n } P ( A _ { i _ { 1 } } \cap \cdots \cap A _ { i _ { k } } )$$

Damit denke ich, kann ich die Aufgabe b lösen. Das würde durch Umformen dann

\( \sum\limits_{n=0}^{n}{(-1)^{k+1}/k!}\) ergeben. Das Komplement würde die Wahrscheinlichkeit sein, dass niemand den eigenen Mantel erhält. Aber wie kann ich die erste Aufgabe lösen? Kann mir da jemand vielleicht helfen? Das wäre wirklich sehr nett.

Answer 1

Sei \(S_n\) die symmetrische Gruppe aller Permutationen \(\pi\) der Menge \(\{1,...,n\}\).

a)

Ein Fixpunkt bedeutet \(n-1\) frei permutierbare Elemente:

$$A_i=\{\pi\in S_n \,|\, \pi(i)=i\}\\ P(A_i) = \frac{(n-1)!}{n!}=\frac{1}{n}$$

b)

Analog:

$$B=\left\{\pi\in S_n \,|\, \pi(i_j)=i_j \text{ und } j\in\{1,\dots,k\}\right\}\\ P(B) = \frac{(n-k)!}{n!}$$

Der von dir angegebene Term beschreibt den Anteil der fixpunktfreien Permutationen, also dass niemand seinen eigenen Mantel erhält. Das Komplement wäre demnach die Whk, dass mind. eine Person den eigenen Mantel erhält.

Comments

Kann man das auch als p = Anz. Günstige / Anz. Mögliche verstehen? Ich habe n Mäntel, somit kann ich es n! Mal an leute verteilen. Bei Aufgabe a wird nur eine Person anvisiert, sodass die i-te Person nur eine Möglichkeit hat, den eigenen Mantel zu erhalten. Bei b auch analog?

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Richtig, das ist der Gedanke dahinter. Ereignis B habe ich übrigens nicht ganz sauber definiert, mit dem Allquantor wäre es wohl besser.

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Ah ok. Ich verstehe nun, wie du auf die Lösung kommst. Vielen Dank!!!