Divergenz des Vektorfeldes rnr⃗r^n\vec r berechnen

Question

gesucht ist $div(r^n\vec r)$. Wie kann ich hier vorgehen?

Danke vorab an alle, die helfen wollen.

Answer 1

Aloha :)

Hier empfehle hier die Verwendung des Nabla-Kalküls:

$$\text{div}\,\left(r^n\cdot\vec r\right)=\nabla\left(r^n\cdot\vec r\right)=\left(\nabla r^n\right)\cdot\vec r+r^n\nabla\vec r$$$$=\left(\frac{\partial(r^n)}{\partial r}\cdot\frac{\partial r}{\partial\vec r}\right)\cdot\vec r+r^n\left(\begin{array}{c}\partial_x\\\partial_y\\\partial_z\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)$$$$=\left(nr^{n-1}\cdot\left(\begin{array}{c}\partial_x\\\partial_y\\\partial_z\end{array}\right)\sqrt{x^2+y^2+z^2}\right)\vec r+r^n(1+1+1)$$$$=\left(nr^{n-1}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\left(\begin{array}{c}2x\\2y\\2z\end{array}\right)\right)\vec r+3r^n$$$$=\left(nr^{n-1}\cdot\frac{\vec r}{r}\right)\vec r+3r^n=nr^n+3r^n=(n+3)r^n$$

Answer 2

verwende z.B die Divergenz in Kugelkoordinaten

div(rⁿ *r^→ )

=div(rⁿ *r*e_r )=div(rⁿ⁺¹ e_r)

=1/r² d/dr (r² *rⁿ⁺¹)

=1/r² *(n+3)rⁿ⁺²

=(n+3)*rⁿ

Comments

Sieht eleganter aus als mit kartesischen Koordinaten.

Mit e_r bezeichnest du den Einheitsvektor in Richtung von Vektor r ?

In diesem Schritt

div(r^{n+1} e_r)

=1/r^{2} d/dr (r^{2} *r^{n+1})

ist nur ein Summand im Resultat von https://de.wikipedia.org/wiki/Divergenz_eines_Vektorfeldes#Zylinder-… zu berücksichtigen, da das Vektorfeld unabhängig von den beiden Winkeln ist.

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Richtig, e_r soll der radiale Einheitsvektor r^→ /r

sein.