Divergenz eines Vektorfeldes

Question

Aufgabe:

Ein Berg lasse sich in guter Näherung durch eine Halbkugel beschreiben. Geben Sie das skalare
Feld fur die Höhe h(x, y) an, wenn der Kugelberg 2 km hoch ist und sich sein Zentrum bei den
Koordinaten x = 10 km, y = 5 km befindet. Außerhalb des Berges sei die Landschaft völlig eben
(h = 0).

Problem/Ansatz:

also was ich mir gedacht habe ist das Vektorfeld zu berechnen und dann die Divergenz um das Skalarfeld zu berechnen.

ich kam auf ein Vektorfeld von

\( \begin{pmatrix} Rsin(Θ)cos(ϑ)\\Rsin(Θ)sin(ϑ)\\Rcos(Θ) \end{pmatrix} \)  für R=2 , ϑ∈(0,2π) und Θ∈(0,π/2) 

jetzt weiß ich nicht ganz genau wie ich die Divergenz mit den Kugelkoordinaten berechnen kann. mit den kartesischen koordinaten ist es ja einfach.

ist meine Idee/ mein Vektorfeld eigentlich richtig ? wenn nicht wie wäre das richtige ?

* ich brauche die Herleitung für die Divergenz nicht muss die nur anwenden, solange die richtig ist.

vielen Dank im voraus

Answer 1

Aloha :)

Wieso benötigst du denn hier die Divergenz eines Vektorfeldes? Hier gibt es doch gar keinen Fluss und keine Quellen. Du kannst dir stattdessen Folgendes überlegen:

Der Abstand eines Punktes (x,y) in der xy-Ebene vom Ursprung (0;0) beträgt \(\sqrt{x^2+y^2}\). Der Abstand zum Bezugspunkt (10;5) ist entsprechend \(r=\sqrt{(x-10)^2+(y-5)^2}\). Das Modell für den Berg ist eine Halbkugel mit Radius 2 LE, sodass nach Pythagoras gelten muss: \(h^2+r^2=2^2\). Damit hast du das gesuchte Skalarfeld:

$$h(x,y)=\sqrt{4-r^2}=\sqrt{4-(x-10)^2-(y-5)^2}$$

Answer 2

Hallo

 1, hast du den 0 Punkt nicht drin 2. h durch r und Θ ausgedrückt also nicht in h(x,y)

du hast ja (x-10)^2+(y-5)^2+z^2=4  z>=0 (alles in km ) das kannst du nach z bzw. h auflösen.

Gruß lul

Comments

Ach so jetzt verstehe ich was mit ( für die Höhe h(x,y) gemeint war

Aber wenn ich nach h auflöse muss ich danach die Divergenz auch noch berechnen oder? Könntest du es machen ? Ich weiß nicht ganz wie ich es machen kann

Danke Dir !