Symmetrie dieser Aufgabe Bestimmen. f(x)=x² mal (2-x)²

Question

f(x)=x² mal (2-x)² wie finde ich bei dieser Aufgabe heraus ob sie Punkt oder Achsen Symmetrisch oder weder noch ist. ?

Answer 1

 

man kann einfach die Definitionen für Achsensymmetrie bzw. Punktsymmetrie (zum Ursprung) anwenden:

 

Achsensymmetrie f(x) = f(-x)

f(x) = x² * (2 - x)² = x² * (4 -2x + x²) = x⁴ - 2x³ + 4x²

f(-x) = (-x)² * (2 + x)² = x² * (4 + 2x + x²) = x⁴ + 2x³ + 4x²

Unterschiedliche Ergebnisse, also keine Achsensymmetrie.

 

Punktsymmetrie zum Ursprung f(-x) = -f(x)

Liegt auch nicht vor, da

f(-x) = x⁴ + 2x³ + 4x² ≠ -x⁴ + 2x³ - 4x² = -f(x)

 

Besten Gruß

Comments

P.S.

Der Graph der Funktion ist "achsensymmetrisch" zur Senkrechten x = 1, aber eben nicht zur y-Achse.

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Dankeschön jetzt weiß ich die Lösung. Aber ich weiß immer noch nicht genau wie es zu dieser Lösung kommt. Wäre sehr dankbar über eine Erklärung der Rechenschritte.

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Gern geschehen!

 

Nun, ich bin einfach nach den Definitionen für Achsensymmetrie und Punktsymmetrie vorgegangen:

Ich habe f(x) berechnet: f(x) = x⁴ - 2x³ + 4x²

und auch f(-x) = x⁴ + 2x³ + 4x²

Achsensymmetrie läge dann vor, wenn die beiden Terme gleich wären. Das ist aber nicht der Fall, weil in dem einen Term -2x³ vorkommt und in dem anderen +2x³

 

Denke aber zum Beispiel mal an f(x) = x²

Hier ist f(-x) = (-x)² = x²

Weil hier (im Gegensatz zu Deiner Aufgabe) f(x) = f(-x) gilt, liegt Achsensymmetrie zur y-Achse vor.

 

Und bei der Punktsymmetrie zum Ursprung müsste eben gelten f(-x) = -f(x)

Das wäre hier der Fall, wenn

x⁴ + 2x³ + 4x² = - (x⁴ - 2x³ + 4x²)

was aber offensichtlich auch nicht der Fall ist.

 

Ein Beispiel für eine punktsymmetrische Funktion ist f(x) = x³

f(-x) = (-x)³ = -x³

f(x) = x³

Also

f(-x) = -x³ = - f(x) = -x³