diskretes Wahrscheinlichkeitsmaß

Question

Aufgabe:

ich muss in einer Aufgabe angeben, ob die Summe von k=0 bis unendlich von p*(1-p)^k* ε_k für p=(0,1] ein diskretes Wahrscheinlichkeitsmaß auf N₀ ist.

Problem/Ansatz:

Ich habe als erstes gezeigt, dass p*(1-p)^k ≥ 0 ist für alle k aus N₀ ist.

Nun wollte ich zeigen, dass die Summe gleich 1 ist, jedoch finde ich nichts, um das allgemein zu zeigen.

Wie kann ich die Summe so umformen, dass ich zeigen kann, dass sie 1 ergibt ?

Answer 1

Hi kommt spät, hilft vielleicht dennoch dem ein oder anderem weiter:

Das p kannst du rausziehen, denn das hat nichts mit dem Laufindex k zu tun, wir erhalten:

p * ∑ (1-p)^k, für k = 0 gegen unendlich. Da p Element aus (0,1] ist der Ausdruck (1-p)^k kleiner als 1 aber größer gleich 0.

Die Bedingung der Konvergenz für die geometrische Reihe ist also erfüllt, demnach ist das das selbe wie:

p * (1/1-(1-p)) = p * (1/(1-1+p)) = p * (1/p) = 1.