Wahrscheinlichkeitsmaß einer diskreten Zufallsvariable

Question

 Liebe Lounge,

das Wahrscheinlichkeitsmaß P ist eine Abbildung aus der Sigma- Algebra (Potenzmenge der Ergebnismenge) in die Reellen Zahlen ( Intervall [0;1]).

Jetzt findet man die Eigenschaft der Normiertheit, nämlich P(Omega)=1.

Dazu habe ich eine Frage:

Mit Omega ist ja jetzt die Ergebnismenge gemeint. Diese ist ja auch in der Potenzmenge enthalten.

Die Abbildung P nimmt also den Wert P(Omega)=1 an.

Das bedeutet aber ja NICHT, dass wenn ich alle Werte, welche P jedem einzelnen Element aus der Potenzmenge zuordnet zu 1 addieren kann.

Diese Summe muss ja größer sein als 1.

Das stimmt so oder?

Wenn ich jetzt eine Zufallsvariable (diskret) definiert habe, und mir jetzt die Verteilung dieser Zufallsvariable anschaue, dann sind die Werte der Zufallsvariablen ja gerade Bilder von Elementen aus der Potenzmenge.

Allerdings ordnet jetzt die Abbildung P nicht jedem Element der Potenzmenge eine Wahrscheinlichkeit zu oder?

Beispiel einmaliger Wurf Laplacewürfel:

Omega : {1,2,3,4,5,6}

Potenzmenge: {leere Menge, {1}...,Omega}

Sei X die gewürfelte Augenzahl:

x1=1 P(X=x1)=1/6...

x6=6 P(X=x6)= 1/6

Jetzt ist die Summer der P(X=xi) von i=1,...,6

gerade 1.

Das heißt aber ja auch, dass P nicht alle Elemente der Potenzmenge in R abbildet ?

Ich hoffe meine Unklarheiten werden deutlich.

Answer 1

Ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich deine Frage richtig verstehe, aber bei deinem Würfelbeispiel solltest du nicht nur die Elementarergebnisse betrachten, sondern alle Ereignisse. Die Potenzmenge des Ergebnisraums ist ja die Menge aller Teilmengen vom Ergebnisraum. Und eine Teilmenge des Ergebnisraums ist ja gerade ein Ereignis.

z.B.


P({1}) = P("Es wird eine 1 gewürfelt") = P(X=1) = 1/6

P({1;2}) = P("Es wird eine 1 oder 2 gewürfelt") = P(X≤2) = 2/6

P({2;4;6}) = 3/6

P({1;2;5;6}) = 4/6

P({1;2;3;4;5;6}) = P(Ω) = 1

usw.