Symmetrische Differenz

Question

Aufgabe: A ∆ B = (A \ B) ∪ (B \ A)

Problem/Ansatz: Wie kann ich diese Aussage mit den Gesetzen der Aussagenlogig beweisen, habe kein Plan wie ich es machen soll.

Comments

Meiner Auffassung nach ist das die Definition der symmetrischen Differenz. Der Beweis würde sich also darauf beschränken, dass A ∆ B = (A \ B) ∪ (B \ A) gilt weil A ∆ B so definiert ist.

Was ist deine Definition der symmetrischen Differenz?

mit den Gesetzen der Aussagenlogig beweisen

Die Aussagenlogik wird dazu nicht reichen, weil die Variablen nicht für Aussagen stehen, sondern für Mengen. Um in solchen Fällen Beweise zu führen benötigt man eine ausdrucksstärkere Logik, wie zum Beispiel Prädikatenlogik. Außerdem benötigt man noch ein paar Axiome.

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Das ist meine Definition für die Symmetrische Differenz: A∆B =df (A∪B)\(A∩B)

(Kommutativitaet)

(Assoziativitaet)

(Absorption)

(Distributivitaet)

(Negation) 

Und ich soll diese Gesetze nutzen um diese Aussage zu beweisen.

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Das wird schwierig. Da fehlt ein Gesetz zur Behandlung von "\".

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Vereinigung: A∪B =df {x | x ∈ A∨x ∈ B}
Schnitt: A∩B =df {x | x ∈ A∧x ∈ B}
Differenz: A\B =df {x | x ∈ A∧x 6∈ B}
Das sind die anderen Definitionen.

Answer 1

Es genügt zu zeigen, dass

(1)        (A \ B) ∪ (B \ A) ⊆ (A∪B) \ (A∩B)

und

(2)        (A∪B)\(A∩B) ⊆ (A \ B) ∪ (B \ A)

ist.

Zu (1): Sei m ∈ (A \ B) ∪ (B \ A). Dann ist m ∈ (A \ B) oder m ∈ (B \ A).

Sei o.B.d.A. m ∈ (A \ B). Dann ist m ∉ B, also ist auch

(3)        m ∉ A∩B.

Weil m ∈ (A \ B) ist, ist m ∈ A und somit auch

(4)        m ∈ A∪B.

Aus (3) und (4) folgt m ∈ (A∪B) \ (A∩B). Damit ist (1) gezeigt. Der Beweis von (2) geht ähnlich, versuch mal ob du ihn hinbekommst.

Comments

Danke für deine Mühe und deine hilfreiche Antwort. 1000 dank.