Hallo Ela,
Formeln nützen bei solchen Aufgaben zunächst nicht so viel. Du musst über jedes Problem neu nachdenken.
Eine achtstellige Zahl ist ja z.B. 12345678. Dabei darf die vorderste Stelle, also die 10Millionen-Stelle keine Null sein.
Für diese Stelle gibt es also 9 Möglichkeiten. Das gilt für a) bis d).
zu a) alle Ziffern verschieden
Die zweite Stelle von links:
Hier gibt es auch 9 Kandidaten, da zu den 8 verbliebenen noch die Null hinzu kommt.
Für die dritte Stelle bleiben 8, usw.
Für die achte Stelle sind dann noch 3 Ziffern übrig.
Die Zahlen müssen multipliziert werden: 9·9·8·7·6·5·4·3 = 1.632.960
Antwort: Es gibt 1.632.960 achtstellige Zahlen mit unterschiedlichen Ziffern.
zu b)
Wenn die Zahl durch 5 teilbar ist, muss die letzte Ziffer ein 0 oder 5 sein. Es gibt also 2 Möglichkeiten.
Für die erste Ziffer gibt es wieder 9 Möglichkeiten und auf den restliche 6 Stellen darf jede Ziffer von 0 bis 9 stehen.
Also 2·9·106=18·106 Zahlen.
zu c)
Zunächst nehmen wir einmal an, dass die drei Vieren am Ende stehen. Für die vorderen 5 Stellen gibt es dann 8·9·9·9·9 Möglichkeiten, da für die erste Stelle ja die 0 und die 4 wegfallen und für die anderen vier Stellen die 4 nicht erlaubt ist.
Da die drei Vieren aber an jeder beliebigen Position stehen dürfen, müssen wir gucken, wie wir die drei auf acht Positionen verteilen können. Jetzt brauchst du doch eine Formel, nämlich
\(\binom{8}{3}=\frac{8\cdot 7\cdot 6}{3\cdot 2\cdot 1}=56\)
Mit dieser Zahl müssen wir das obige Zwischenergebnis multiplizieren:
56·8·9·9·9·9=2.939.328
zu d) Es gibt verschiedene Fälle:
Alle Ziffern unterschiedlich, eine Ziffer doppelt, zwei doppelt, drei doppelt und vier doppelt.
Am besten berechnet man für jeden Fall die Anzahl und addiert dann alles.
Ich würde so anfangen:
Keine Ziffer doppelt: 9·8·7·6·5·4·3
Eine Ziffer doppelt, z.B. die 9. Die Zahl ende mit 99.
Dann gibt es 8·7·6·5·4·3 Möglichkeiten für die ersten 6 Ziffern. Da am Ende aber 11, .., 99 stehen können, haben wir 9· 8·7·6·5·4·3 Zahlen, bei denen die letzten Ziffern gleich sind. Nun müssen die gleichen Ziffern noch auf die anderen Plätze verteilt werden. Das geht auf (9 über 2), also 36 Arten.
36·9·8·7·6·5·4·3
usw.
