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Aufgabe:

Bestimme die Funktionsgleichung von diesem Graphen.

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Bitte mit Rechenweg.

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Tag: Exponentialfunktionen

Es mag sein, dass ihr momentan das Thema Exponentialfunktionen habt aber damit ihr den alten Stoff nicht vergesst stellt die Lehrkraft noch Aufgaben aus früheren Themengebieten.

Dieses ist eine sogenannte Steckbriefaufgabe.

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Aloha :)

Man kann 5 Punkte ablesen: \((0|1), (1|2), (2|1), (3|1), (4|3,5)\). Daher gehen wir von einem Polynom 4-ter Ordnung aus:

Aus dem Punkt \((0|1)\) folgt, dass die Funktion um 1 LE nach oben verschoben ist. Bis auf ein Polynom \(p(x)\) sieht die Funktion also so aus:$$f(x)=p(x)\cdot x+1$$Der Faktor \(x\) garantiert, dass \(f(0)=1\) ist. Von \(p(x)\) wissen wir aus den Punkten \((2|1)\) und \((3|1)\), dass es Nullstellen bei \(2\) und bei \(3\) haben muss, denn wenn \(p(2)=0\) und \(p(3)=0\) gilt, ist \(f(2)=1\) und \(f(3)=1\). Das macht \(f(x)\) noch etwas bekannter:

$$f(x)=q(x)\cdot(x-2)(x-3)x+1$$Jetzt haben wir noch die beiden Punkte \((1|2), (4|3,5)\) übrig, um das verbliebene Polynom \(q(x)\) zu bestimmen. Für diese 2 Punkte können wir 2 Unbekannte \(a\) und \(b\) veranschlagen, sodass \(q(x)=ax+b\) sein muss.

$$f(x)=(ax+b)(x-2)(x-3)x+1$$Wir setzen die beiden Punkte ein, um Bedingungen für \(a\) und \(b\) zu erhalten:

$$2=f(1)=(a+b)(-1)(-2)1+1=2(a+b)+1\quad\Leftrightarrow\quad a+b=\frac{1}{2}$$$$\frac{7}{2}=f(4)=(4a+b)(2)(1)4+1=8(4a+b)+1\quad\Leftrightarrow\quad4a+b=\frac{5}{16}$$Wir subtrahieren die erste Gleichung von der zweiten:$$(4a+b)-(a+b)=\frac{5}{16}-\frac{1}{2}\;\;\Leftrightarrow\;\;3a=-\frac{3}{16}\;\;\Leftrightarrow\;\;a=-\frac{1}{16}$$$$b=\frac{1}{2}-a=\frac{8}{16}-\left(-\frac{1}{16}\right)=\frac{9}{16}$$Damit haben wir die Gesuchte gefunden:

$$f(x)=\left(-\frac{1}{16}x+\frac{9}{16}\right)(x-2)(x-3)x+1$$$$f(x)=\frac{1}{16}(9-x)(x-2)(x-3)x+1$$

~plot~ 1/16*(9-x)*(x-2)*(x-3)*x+1 ~plot~

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Sehr schöne Herleitung, gut nachvollziehbar erklärt.

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