Beweisen Sie, dass M echte Teilmenge von L := [0,∞) und M := {a ∈ R | ∃x ∈ [-1,1]: x² = a }

Question

Aufgabe:

L := [0,∞)

M := {a ∈ R | ∃x ∈ [-1,1]: x² = a }

Beweisen Sie, das M echte Teilmenge von L ist, dass heisst M ⊆ L aber M ≠ L.

Problem/Ansatz:

Wie beweist man, das zwei Mengenaussagen identisch sind. Allerdings weiß ich nicht, wie ich formal beweise, das eine Menge eine echte Teilmenge einer anderen ist.

Das Intervall L sind meines Wissens alle nicht negative Zahlen und Null.

M kann ja nur die Zahlen zwischen 0 <= n <= 1 annehmen.

Da die Menge L alle Zahlen positiven reellen Zahlen und die Null beeinhaltet und M den Bereich von 0 bis 1 abdeckt, macht es Sinn, das M echte Teilmenge von L ist - aber wie beweise ich das "mathematisch richtig"?

Auf diesem Aufgenblatt wird von mir öfters verlangt, dass ich beweisen soll das Menge X Teilmenge von Menge Y ist wobei X und Y klar definiert sind, allerdings weiß ich nicht wie man das tut, außerhalb von groben Erklären.

Vielen Dank für jegliche Hilfe.

Answer 1

Du betrachtest für den Anfang immer die Menge mit der ,,kleineren'' Mächtigkeit. Jetzt betrachtest du mal so ein Element aus dieser Menge, indem du sagst

Sei \( y\in M\) beliebig. Dann wissen wir doch per Definition von unserer Menge M, dass es für unser y ein \(x \in [-1,1] \) geben wird, sodass die Gleichung \(x^2=y\) erfüllt ist.

Da nun L ein Intervall ist, ist es hier ganz sinnvoll, das kleinste und das größte Element von M zu betrachten, um zu sehen, ob diese auch in L vorkommen. Das ist hier der Fall.

Nun will man noch Ungleichheit nachweisen. Man kann jetzt mal so tun, als würde man zeigen können, dass L eine Teilmenge von M ist. Dafür geht man wie oben vor. Nun wählst du dir hier aber einfach ein Element aus L aus, was nicht in M enthalten ist, und hast damit einen Widerspruch zu der Annahme erzeugt, das L eine Teilmenge von M ist => L≠M.

Comments

Vielen Dank, dass du dir die Zeit genommen hast mir das zu erklären!