Abzählbarkeit der algebraischen Zahlen( Polynom/echte Teilmenge/ transzendente Zahlen)

Question

Aufgabe

Eine Zahl a ∈ R heißt algebraisch, falls ein Polynom

p(x) = xⁿ + a_n−1xⁿ⁻¹ + ... + a1x + a0 mit a0, a1, ..., a_n−1 ∈ Q, n ∈ N

existiert, so dass p(a) = 0. Wir bezeichnen die Menge der algebraischen Zahlen mit A. Eine Zahl
a ∈ R heißt transzendent, wenn a nicht algebraisch ist. Zeigen Sie:

(a) Q ist eine echte Teilmenge von A.
(b) Die Menge A ist abzählbar.
(c) Es gibt transzendente Zahlen.

Problem/Ansatz:

Ich bin unser Skript in Analysis jetzt mehrmals durchgegangen, ich weiß aber nach 2h immer noch nicht, wie ich diese Aufgaben angehen, geschweige noch lösen soll.

Ich bin für jede Hilfe dankbar.

Answer 1

a) Sei a∈ℚ. Betrachte das Polynom  p(x)=x-a . Dann gilt p(a)=0, also ist

a algebraisch. Somit ℚ⊆A.

Und z.B. mit p(x)=x^2 - 2  sieht man, dass √2 algebraisch ist, aber da √2 ∉ℚ

ist ℚ eine ECHTE Teilmenge von A.

Zu b) Zeige die Abzählbarkeit der Menge aller Polynome

mit a0, a1, ..., an−1 ∈ Q, n ∈ N.

Zu c) betrachte z.B.  π oder e.