da die Leere Menge eine echte Teilmenge von M ist, oder spielt die leere Menge bei der Betrachtung der Mächtigkeit …

Question

Aufgabe:

Fur beliebiges n ∈ ℕ, n ≥ 2 wird die Menge M_n := { A | ∅ ⊆ A ⊆ ( {1, . . . , n} } betrachtet.

(Das Symbol für die Teilmengen soll das der echten Teilmengen sein. Ich finde das Symbol hier leider nicht. )

(i) Geben Sie M₃ und (M₄ ∩ M₃) \ M₂ an.

(ii) Bestimmen Sie fur die Anzahl der Elemente von M_n eine Formel in Abhängigkeit von n.


Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht, wie das Symbol der echten Teilmengen zu deuten ist.

(i)

Nach meiner Auffassung wären das bei M₃ = {∅, 1, 2, 3}

(M₄ ∩ M₃) \ M₂ =  {∅, 1, 2, 3, 4} ∩ {∅, 1, 2, 3} \ {∅, 1, 2}  = {3}

(ii) Die Anzahl der Elemente von M_n ergibt sich dann ja nach |M_n | = n + 1

da die Leere Menge eine echte Teilmenge von M ist, oder spielt die leere Menge bei der Betrachtung der Mächtigkeit keine Rolle?

Comments

Hallo,

ich verstehe die Definition von \(M_n\) so: Alle nichtleeren echten Teilmengen von \(\{1, \ldots,n\}\) - Du hast ja gesagt, es sollen echte Teilmengen sein. Für \(n=3\) wären das

$$\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\}$$

Gruß

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Vielen Dank!

Answer 1

Hallo aekb3rt

es scheint, dass du die Definition von M_n noch nicht ganz verstanden hast.

Deshalb gebe ich einmal  M₂ an:

M₂ = {∅ , {1} , {2} , {1,2} }

M₂ ist also mit anderen Worten die Menge aller möglichen Teilmengen von {1,2} .

Analog ist M_n die Menge aller möglichen Teilmengen von {1,2,3, ..... ,n} .

Comments

Unter Berücksichtigung von    (Das Symbol für die Teilmengen soll das der echten Teilmengen sein. Ich finde das Symbol hier leider nicht. )    kann man auch zu einer anderen Lösung kommen.

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Ja, ich tue mich mit der Notation etwas schwer.

Kannst du mir erklären, warum das so ist, was du beschrieben hast?

Also ist M_n die Potenzmenge der Menge der natürlichen Zahlen von 1 bis n?

M₃ = {∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}?

Wobei ich dann nicht verstehe, was es mit der echten Teilmenge auf sich hat.

Und wie wäre es dann mit der Mächtigkeit?

Die wären dann für Potenzmengen ja einfach 2^|M|

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Den Punkt betr. "echte" Teilmenge habe ich offenbar zuerst übersehen. Entschuldige bitte ! Das entsprechende Symbol sollte aber hier doch zu finden sein:   ⊂

(oder meinst du das Zeichen, in welchem der Deutlichkeit halber noch ein ≠ eingebaut ist ? In Latex gäbe es sowas: \varsubsetneq )

In diesem Fall kommt natürlich für A jeweils die leere Menge und die vollständige Menge  {1,2,3, ... , n}  nicht in Frage, und die Mächtigkeit der entstehenden Menge ist dann nicht 2ⁿ , sondern  2ⁿ - 2 .