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ich stehe kurz vor meiner Mathe-Klausur und versuche ein paar Aufgaben als Übung zu berechen, aber ich komme nicht wirklich mit dem Krümmungsverhalten zurecht. Meine Aufgabe lautet:

Rechnerisch das Krümmungsverhalten vom Graphen von f berechnen.

f(x)=x^3-x


So ich hab jetzt die Ableitungen berechnet:

f'(x)=3x^2

f''(x)=6x

f'''(x)=6

Nun kommt die notwendige Bedingung f''(x)=0, hab ich auch berechnet:

6x=0

x=0

hinreichende Bedingung f''(x)=0 und f'''(x) ungleich 0

f''(0)=6*0=6>0 also, eine links-Krümmung.

Jedoch zeigt mein Taschenrechner, dass dieser Graph von der rechtskrümmung in die linkskrümmung wechselt, das hab ich aber nicht hingekriegt. Ich würde mich freuen, wenn mir das jemand erklären könnte :)

LG Ime

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Aloha :)

Die Krümmung kannst du mit der 2-ten Ableitung messen, es gilt:$$f''(x)>0\;\;\Leftrightarrow\;\;\text{links gekrümmt}$$$$f''(x)<0\;\;\Leftrightarrow\;\;\text{rechts gekrümmt}$$Bei \(f''(x)=0\) kann die Krümmung wechseln (dann hast du einen "Wendepunkt"), muss aber nicht.

In deinem Fall ist:$$f(x)=x^3-x$$$$f'(x)=3x^2-1$$$$f''(x)=6x$$Damit hast du 2 Fälle:

a) \(\;x<0\;\;\Rightarrow 6x<0\;\;\Rightarrow\;\;\text{rechts gekrümmt}\)

b) \(\;x>0\;\;\Rightarrow 6x>0\;\;\Rightarrow\;\;\text{links gekrümmt}\)

Damit ist auch klar, dass bei \(x=0\) ein Wendepunkt vorliegt.

~plot~ x^3-x;[[-2|2|-2|2]] ~plot~

Avatar von 148 k 🚀
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Du hast ja auch nicht die Krümmung selbst berechnet, sondern den Wendepunkt. Wendepunkte sind die Punkte, wo die Krümmung wechselt.

Avatar von 53 k 🚀

Ja, hab ich auch gerade eben bemerkt :)

Kannst du mir bitte sagen, wie ich die Krümmung berechnen kann, bitte?

Suche die Bereiche, in denen die zweite Ableitung durchgängig negativ bzw. durchgängig positiv ist. Ordne dann die Begriffe Linkskurve/Rechtskurve richtig zu.

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