Was soll ich machen, nachdem ich die 2. Ableitung bestimmt habe?
Die Aufgabe lautet:
Untersuchen Sie rechnerisch das Krümmunngsverhalten der Graphen von f.a) \( f(x)=-x^{2}+2 x+4 \)b) \( f(x)=x^{3}-x \)c) \( f(x)=x^{3}-3 x^{2}-9 x-5 \)d) \( f(x)=x^{4}+x^{2} \)e) \( f(x)=x^{4}-6 x^{2} \)f) \( f(x)=\frac{1}{4} x^{4}+3 x^{2}-2 \)g) \( f(x)-\frac{1}{3} x^{6}-20 x^{2} \)h) \( f(x)=\frac{1}{20} x^{5}+\frac{1}{2} x^{4}+\frac{3}{2} x^{3} \)i) \( f(x)=(x+2)^{2} \cdot(x-1)^{2}-3 \)
Vom Duplikat:
Titel: Krümmungsverhalten der Graphen von f
Stichworte: krümmung,funktion
die aufgabe ist: Untersuchen Sie rechnerisch das Krümmungsverhalten der Graphen von f.
Guckst Du hier https://www.mathelounge.de/469392/untersuchen-sie-rechnerisch-das-krummungsverhalten?show=469412#c469412
2. Ableitung kleiner 0 heißt: Rechtskrümmung
also etwa bei a) f ' ' (x) = -2 also immer f ' ' (x) < 0
also ist der Graph andauernd rechtsgekrümmt.
Passt auch: nach unten offene Parabel.
und bei b) etwa f ' ' (x) = 6x , also
f ' ' (x) < 0 <==> x < 0
also über ] - ∞ ; 0 [ Rechtskrümmung
und über ] 0 ; ∞ [ Linkskrümmung
Guckst Du hier https://www.mathebibel.de/kruemmungsverhalten
wir ist es bei aufgabe 3f ? Bei der 2. ableitung kommt 3x^2+6 raus
was muss ich jetzt machen?
Ist im verlinkten Artikel auch beschrieben ;-)
Finde heraus für welche x die zweite Ableitung, also 3x2+6 negativ und für welche x sie positiv ist. Hier kannst Du einsetzen was Du willst, die zweite Ableitung ist immer größer 0.
eie jetzt also rechtskrümmubg?
f''(x) > 0 bedeutet rechtsgekrümmt, die zweite Ableitung ist positiv, also größer Null.
Dafür gibt's doch die Smiley-Regel:
Zweite Ableitung positiv, fröhlicher Smiley, die Funktion ist linksgekrümmt.
Zweite Ableitung negativ, trauriger Smiley, die Funktion ist rechtsgekrümmt.
jaa aber muss ich jetzt vei 3x^2+6 eif rechtskrümmung sagen oder wendepunkte bestimmen
Hmmm bitte was?
In der Aufgabe steht: 3 Untersuchen Sie rechnerisch das Krümmungsverhalten der Graphen von f.
Da lese ich nichts von Wendepunkten.
Für alle x ∈ ℝ gilt f''(x) = 3x2+6 > 0. Daraus folgt die Linkskrümmung des Graphen von f.Punkt. Aufgabe fertig. Nächste Aufgabe.
:-)
f(x) = (x+2)^2 * (x-1)^2 - 3Die Ableitungen dieser Funktion dürften sich einfacher berechnen lassen, wenn man die Klammern loswird.f(x) = (x+2)^2 * (x-1)^2 - 3 = ((x+2)(x-1))^2 - 3 = (x^2 + x - 2)^2 - 3Wir benutzen die erste binomische Formel und setzen a = x^2 und b = (x-2).(x^2 + x - 2)^2 - 3 = (x^2)^2 + 2x^2*(x-2) + (x-2)^2 - 3 = x^4 + 2x^3 - 4x^2 + x^2 - 4x + 4 - 3 = x^4 + 2x^3 - 3x^2 - 4x + 1 Wir haben die Funktion umgeformt zuf(x) = x^4 + 2x^3 - 3x^2 - 4x + 1 Die Ableitungen sind jetzt einfach berechenbar:f'(x) = 4x^3 + 6x^2 - 6xf''(x) = 12x^2 + 12x - 6Die zweite Ableitung ist eine quadratische Funktion der Form ax^2 + bx + c, ihr Graph ist eine Parabel. Weil c < 0 und a > 0 sind, wissen wir, dass die Parabel Nullstellen hat, denn wegen a>0 ist sie nach oben geöffnet und wegen c<0 nach unten verschoben. Jetzt berechnen wir die Nullstellen der zweiten Ableitung:12x^2 + 12x - 6 = 0 | :12x^2 + x - 1/2 = 0Das lösen wir per pq-Formel und bekommen die Lösungenx_1 = -1/2(√3 + 1) < 0x_2 = 1/2(√3 - 1) > 0Im Bereich -1/2(√3 + 1) < x < 1/2(√3 - 1) ist die zweite Ableitung also negativ.Das bedeutet, dass der Graph von f in diesem Bereich rechtsgekrümmt ist.Der "Rest" des Graphen ist demnach linksgekrümmt, das sind die Intervalle (-∞, -1/2(√3 + 1)) und (1/2(√3 - 1), ∞).
Ich gehe einmal vonf ´´ ( x ) = 3x2 + 6
aus. Jetzt muß du folgendes überprüfen. Wann istf ´( x ) > 0 ( Linkskrümmung )f ´´ ( x ) = 0 ( Wendepunkt )f ´´ ( x ) < 0 ( Rechtskrümmung )
Fangen wir mit dem einfachsten anf ´´ ( x ) = 0f ´´ ( x ) = 3x2 + 6 = 03x2 + 6 = 03x^2 = -6 keine Lösung. Eine Quadratzahl x^2 ist immer positivoder gleich 0.
f ´( x ) > 0 ( Linkskrümmung )f ´( x ) = 3x2 + 6 > 0 3x^2 > -6 stets. Die Funktion ist überall linksgekrümmt.
Bei Bedarf nachfragen. Gilt auch für die anderenAufgaben.
f(x) = (x+2) hoch 2 • (x-1) hoch 2 - 3 f ( x ) = [ ( x+2)*(x-1) ]^2 - 3f ( x ) = [ x^2 + x -2 ]^2 - 3f ´( x ) = 2 * ( x^2 + x -2 ) * ( 2x + 1 )f ´´ ( x ) = 2 * ( 2*x^3 + 3*x^2 -3*x - 2 )Wendepunkte2 * ( 2*x^3 + 3*x^2 -3*x - 2 ) = 02*x^3 + 3*x^2 -3*x - 2 = 0Die erste Lösung kann erraten werden.x = 1.
( 2*x^3 + 3*x^2 -3*x - 2 ) : ( x -1 ) = 2 * x^2 + 5x + 2
2 * x^2 + 5x + 2 = 0x = -2x = -1/2
Wendepunktex = - 2x = -1/2x = 1
Male einmal einen Zahlenstrahl.Tage die Punkte ein und ermitteledie Krümmung zwischen den Punktenz.B. zwischen x = -1/2 und x = 1für x = 0f ´´ ( x ) = 2 * ( 2*x^3 + 3*x^2 -3*x - 2 )f ´´ ( 0 ) = 2 * ( 2*0^3 + 3*0^2 -3*0 - 2 )f ´´ ( 0 ) = -2Bei x = 0 ist Rechtskrümmung.Durchführen für z.B.x = -3x = -1x = 2
Soviel zunächst.
f ´´ ( x ) = 2 * ( 2*x3 + 3*x2 -3*x - 2 )Fehler : es muß heißenf ´ ( x ) = 2 * ( 2*x3 + 3*x2 -3*x - 2 )f ´´( x ) = 12 x^2 + 6x - 3 )
Kommst du alleine klar ?Sonst wieder melden.
Die 1.Funktion habe ich dir im anderen Strang beantwortet.f(x) = (x+2) hoch 2 • (x-1) hoch 2 - 3 f ´ ( x ) = 2* ( x + 2 ) * 1 stimmt das mal ?
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