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wie gebe ich für die gegebenen Polynome im reellen Vektorraum vom Grad kleiner oder gleich drei die Basis von V an und aus welchen Monomen besteht diese?

Und wie zeige ich, dass diese linear unabhängig sind? Tu mich mit dem ³ etwas schwerer.

P1(x) =x³-x+1,

P2(x)=x³-1

P3(x)=x²-x

Vielen lieben Dank
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Ich vermute mal, dass das folgendermassen gemeint ist.

Basis: f(x) = 1, g(x) = x, h(x) = x^2, k(x) = x^3

P1(x) =x³-x+1,

P2(x)=x³-1

P3(x)=x²-x

Bei linearen Abh. müsste
a(x^3 -x + 1) + b(x^3 - 1) + c(x^2 - x) = 0 nichttrivial lösbar sein.

(a+b)x^3 + cx^2 -(a+c)x + (a-b)*1 = 0          . Da Basis x^3, x^2, x, und 1, gilt

a+b=0
c=0
a+c= 0
a-b=0

a+b=0
c=0
a+0= 0 ---> a=0
a-b=0 → b=0

Also zwingend a=b=c=0. Widerspruch zu lin. abh.

==> Es gibt keine nichttriviale Lösung. Die 3 Funktionen sind linear unabhängig.
Avatar von 162 k 🚀
ah ok, jetzt habe ich es verstanden, das hat mir echt sehr geholfen.

danke, aber eine frage habe ich dazu doch noch,

wie ergänze ich zu {p1,p2,p3}die Menge zu einer Basis von v?

Am Einfachsten schaust du, welcher der einfachen Basisvektoren f(x) = 1, g(x) = x, h(x) = x2, k(x) = xsich nicht als Lin.komb. von P1, P2, P3 darstellen lässt. Den kannst du zur Ergänzung deiner Basis dann nehmen.

aP1 + bP2 + c P2 = f(x)

aP1 + bP2 + c P2 = g(x)

aP1 + bP2 + c P2 = h(x)

aP1 + bP2 + c P2 = k(x)

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