Trennung der Variablen mit Hilfe der Formeln

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL:

$$y ^ { \prime } = \frac { 1 + y ^ { 2 } } { \sin( x ) \cdot \cos(x) }$$

Als Tipp soll man aus der Integraltafel eine Regel verwenden. Glaube aber schon beim Ansatz ist hier ein Fehler.

Ansatz:

Integral($\frac{dy}{-y^2}$) = integral($\frac{dx}{sin(x)*cos(x)}$)

Regel Papula Nr 259 → $\frac{1}{a}$ • ln | tan (a(x)) |

Wenn ich jetzt natürlich schon falsch umgestellt habe macht die Regel auch keinen Sinn...

Mein Programm schmeißt mir das Folgendes aus:

$$D G L:=\frac{d}{d x} y(x)=\frac{1+y(x)^{2}}{\cos (x) \sin (x)} \\ y(x)=\tan \left(\ln (\csc (2 x)-\cot (2 x))+ \_C1 \right)$$

Answer 1

Aloha :)$$y'=\frac{1+y^2}{\sin(x)\cdot\cos(x)}$$$$\frac{dy}{dx}=\frac{1+y^2}{\sin(x)\cdot\cos(x)}$$$$\frac{dy}{1+y^2}=\frac{dx}{\sin(x)\cdot\cos(x)}$$$$\int\frac{1}{1+y^2}\,dy=\int\frac{1}{\sin(x)\cdot\cos(x)}\,dx$$$$\int\frac{1}{1+y^2}\,dy=\int\frac{\sin^2(x)+\cos^2(x)}{\sin(x)\cdot\cos(x)}\,dx$$$$\int\frac{1}{1+y^2}\,dy=\int\left(\frac{\sin(x)}{\cos(x)}+\frac{\cos(x)}{\sin(x)}\right)\,dx$$$$\arctan(y)=-\ln|\cos(x)|+\ln|\sin(x)|+C$$$$\arctan(y)=\ln\left|\tan(x)\right|+C$$

Comments

könntest du erklären warum $\frac{1}{sin(x)*cos(x)}$  zu $\frac{sin^2(x)+cos^2(x)}{sin(x)+cos(x)}$ wird?

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sin²(x) + cos²(x) = 1    (wichtige bekannte Formel)

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okay danke.

Warum wird 1/1+y² zu arctan(y)?

Wenn ich y= da stehen haben will, steht es dann so da y=tan(ln|tan(x)|+C)?

Gruß

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Ja genau, du kannst auf beiden Seiten den $\tan(\cdots)$ nehmen, wenn du $y$ alleine stehen haben möchtest. Dann wird es allerdings etwas fummeliger, die Integrationskonstente $C$ aus den Anfangsbedingungen zu bestimmen. Deswegen hatte ich die Gleichung erstmal in der oben angegebenen Form stehen gelassen.

Answer 2

Auf der linken Seite müsste statt $\frac{dy}{-y^2}$ doch $\frac{dy}{1+y^2}$ stehen.