Aloha :)
Die vorschüssige Rentenformel liefert als Kapital nach \(n\) Jahren:$$K_n=K_0\cdot q\frac{q^n-1}{q-1}$$Diese müssen wir nach \(n\) umstellen:
$$\left.K_n=K_0q\frac{q^n-1}{q-1}\quad\right|\;\cdot\frac{(q-1)}{K_0q}$$$$\left.\frac{q-1}{q}\cdot\frac{K_n}{K_0}=q^n-1\quad\right|\;+1$$$$\left.\frac{q-1}{q}\cdot\frac{K_n}{K_0}+1=q^n\quad\right|\;\ln(\cdots)$$$$\left.\ln\left(\frac{q-1}{q}\cdot\frac{K_n}{K_0}+1\right)=\ln(q^n)\quad\right|\;\text{Logarithmengesetze rechts anwenden}$$$$\left.\ln\left(\frac{q-1}{q}\cdot\frac{K_n}{K_0}+1\right)=n\cdot\ln(q)\quad\right|\;:\ln(q)$$$$n=\left.\frac{\ln\left(\frac{q-1}{q}\cdot\frac{K_n}{K_0}+1\right)}{\ln(q)}\quad\right.$$Für den konkreten Fall hier setzen wir nun die Werte ein:$$n=\frac{\ln\left(\frac{1,0425-1}{1,0425}\cdot\frac{87\,000}{950}+1\right)}{\ln(1,0425)}=\frac{\ln(4,733434)}{\ln(1,0425)}\approx37,35$$
