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f(t)= -1 + 3 cos(t) + 2sin(t) - sin(3t)


ich weiß, dass  c0 = -1 , a1 = 3 , b1 = 2 und b3 = -1 alle anderen 0

cl = 1/T \( \int\limits_{0}^{T} \)f(t) * e-lwt

cl setzt sich aber auch aus: 

l = k e N:   ck = 1/2(ak - ibk)

l = k e Z:  ck = 1/2(ak + ibk)

Wie bekomme ich jetzt cl in exponentieller Form heraus ohne Taschenrechner?


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Es gelten die Beziehung $$ a_k = c_k + \overline{ c_{k} } $$  und $$  b_k = i ( c_k - \overline{ c_k } ) $$

Das kann man nach den \( c_k \) auflösen und man bekommt $$ \begin{pmatrix} c_k \\ \overline{c_k} \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & -i \\ 1 & i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_k \\ b_k \end{pmatrix}  = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} a_k -  i b_k \\ a_k + i b_k \end{pmatrix} $$

Jetzt die Werte für \( a_k \) und \( b_k \) einsetzten und ausrechnen. Z.B. $$ c_0 = \frac{1}{2} (a_0 - i b_0) = \frac{1}{2} ( -2 - i \cdot 0 ) = -1 $$ usw.

Avatar von 39 k

wie bekomme ich das aber in exponential form?

$$  r = \sqrt{ \operatorname{Re} c_k^2 + \operatorname{Im} c_k^2 } $$

$$ \phi = \arg (c_k) $$

aber wie bekommt man den winkel ohne elektronische mittel
ich verstehe schon wie man das rechnet aber wie man das in kopf rechnen kan verstehe ich nicht

Welche Wer hast Du denn für die komplexen Fourierkoeffizienten rausbekommen? Schreib die mal auf.

c1 = 1/2(3-2i)
c2 = 0

c3 = 1/2 i

c-1 = 1/2(3+2i)

c-2 = 0

c3 = -1/2i

Z.B. bei \( c_0 = -1 \) ist es einfach. $$  r = \sqrt{ (-1)^2 + 0^2 } = 1 $$ und $$ \phi = \arctan \left( \frac{0}{-1} \right) = \pi $$ D.h. $$ c_0 = e^{i \pi}  $$ Die anderen gehen auch so. Nur bei \( c_1 \) kommen keine glatten Zahlen raus. Da gibt man den Winkel eben als $$ \phi = -\arctan \left( \frac{2}{3} \right) $$ an. \( r \) kann man immer angeben.

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