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ich weiß nicht wie ich diesen Beweis führen soll un bruchte deshal unterstützung.

Die Aufgabe lautet:

Seien (ak)k in N, (bk)k in N  Folgen in einem normierten Raum (X, ||*||) sowie a in X. Gelte weiter: \( \lim\limits_{k\to\infty} \) ak= a

Zu zeigen ist:

\( \lim\limits_{k\to\infty} \)  || ak-bk|| = 0 ⇒ \( \lim\limits_{k\to\infty} \) bk= a


Also nach der Folgenkonvergenz muss gelten:

||| ak-bk|| -0| <ε 

|ak-a|<ε


aber weiter komme ich nicht.

Bin für jede Unterstützung dankbar.

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Wegen $$  \lim_{k\to\infty} \|  a_k - b_k \| = 0 $$ ex. \( k_0 \) s.d.für alle \( k > k_0 \) gilt $$ \|  a_k - b_k \| < \frac{\epsilon}{2}  $$ und wegen $$ \lim_{k\to\infty} a_k = a  $$ ex. \( k_1 \) s.d. für alle \( k > k_1 \) gilt $$  \| a_k - a \| < \frac{\epsilon}{2} $$ und zwar für alle \( \epsilon > 0 \).

Daraus folgt für \( k > \max{ (k_0,k_1) } \) $$ \| b_k -a \| = \| b_k - a_k + a_k -a \| \le \| b_k - a_k \| + \| a_k - a \| < \epsilon  $$

Avatar von 39 k

Danke für die Antwort.

Hätte eine NAchfrage und zwar warum nimmst du beim zweiten "ex. k1 s.d. für alle k>k1 gilt"

k1 und nicht wie davor k0?

Das sind zwei verschiedene Folgen. Also müssen die \( k's \) niht gleich sein.

Achso ok.

Danke dir.

Aber da du gesagt hast, dass sie nicht gleich sein müssen heißt dass das die auch gleich sein dürfen oder?

Das kann sein.

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