Relationen. Gegeben ist eine (endliche) geordnete Menge. Beweise zu Minimum und kleinstem Element

Question

kurz vorab, ich bin ein Anfänger bei Aufstellen von Beweisen und ich muss sagen das ist mein erster Beweis, wo ich wirklich versuche den Sinn zu verstehen.

Aufgabe:

Sei \( M \) eine geordnete Menge (wir schreiben die Relation als \( \leq \)).

(a) Sei zunächst \( M \) endlich. Zeigen Sie, dass es für jedes \( y \in M \) ein minimales \( x \in M \) gibt, für das \( x \leq y \) gilt.

(b) Sei \( M \) endlich und sei \( x \in M \) das einzige minimale Element. Ist \( x \) dann kleinstes Element von \( M \)?

(c) Sei nun \( M \) beliebig und \( x \in M \) das einzige minimale Element. Ist \( x \) dann kleinstes Element von \( M \)?


Mein Ansätze und die Definitionen, die ich aus der Vorlesung verwende:

(a) Sei M endlich.

Zu zeigen: Für jedes y Element M gibt es ein minimales x Element M, für das x ≤ y gilt.

Beweis:

y ≤ x <=> y = x (Definition für y Element M gibt es ein minimales x Element M)

x ≤ y <=> x = y (Definition für y Element M gibt es ein maximales x Element M)

Für alle y Element der Menge M gilt: y ≤ x und y = x

y = x => x = y

y = y und x = x

=> y ≤ x => x ≤ y

Daraus folgt die Behauptung.



(b) Sei M endlich.

Zu zeigen: Es existiert ein minimales x Element M was gilt x ist das kleinste Element aus M.

Beweis:

y ≤ x <=> y = x (Definition für y Element M gibt es ein minimales x Element M)

y ≤ x, Für alle y Element M (Definition für y Element M gibt es ein kleines x Element M)

Es existiert x Element M mit y ≤ x => y ≤ x

y ≤ x => y ≤ x

Daraus folgt: x ist minimal und kleinstes Element von M.

(c) Sei M eine beliebige Menge.

Zu zeigen: Es existiert ein minimales x Element M was gilt x ist das kleinste Element aus M.

Beweis:

Gegenbeispiel:

Reele Zahlen: 1 ≤ -1

Ich weiss schon direkt, dass ich Fehler gemacht habe. Ich habe versucht genauso wie in der Vorlesung das machen. Bitte korrigiert mich wenn ich was falsch habe.

Vielen Dank im Voraus.

Mit freundlichen Grüßen,

Viktor

Comments

Zu zeigen: Es existiert ein minimales x Element M was gilt x ist das kleinste Element aus M.

Beweis:

Gegenbeispiel:

Reele Zahlen: 1 ≤ -1

Bin gerade an der gleichen Aufgabe.

Ich verstehe nicht, wie du zu diesem Schluss gekommen bist...

Was für eine Relation ist "≤" in diesem Beispiel?

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Was für eine Relation ist "≤" in diesem Beispiel?

In einer geordneten Menge liest du das Zeichen als "kleiner oder gleich".

Sehe gerade, dass du bei einer der Teiaufgaben schon einen eigenen Lösungsvorschlag gemacht hast: https://www.mathelounge.de/672158/wenn-das-einzige-minimale-element-ist-ist-dann-auch-kleinste

Hier übrigens etwas zu "total georndet" https://www.mathelounge.de/666857/eine-total-geordnete-menge-zeige-minimal-kleinstes-element (nicht verwechseln mit "geordnet")

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komme auch nicht weiter :(

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Wie schon in meinem Kommentar gesagt, sitze ich gerade an der gleichen Aufgabe.

Was ich mir bisher zu (a) überlegt habe: (Keine Ahnung ob das richtig ist :p)

"≤" ist eine Ordnung, also auch Transitiv.

Sei y∈M beliebig, aber fest.

Sei auch a_n∈M mit n∈ℕ.

Es gelte a₀ ≤ y. Dann sagen wir a_n+1 ≤ a_n (zu beginn ist n=0), wobei bei jedem Schritt n um 1 größer wird, bis es kein Element mehr gibt, was wir für a_n+1 einsetzen können. Wegen der Transitivität gilt dadurch auch a_n ≤ y. Dann ist a_n das minimale Element von y.

Aber ich weiß nicht, ob das als beweis gelten würde...

Was ich mir bisher zu (b) überlegt habe:

M ist endlich.

Def. m minimal in M:
$$∀x\in M:x≤m⇒x=m$$
Def. m kleinstes Element / Minimum in M:
$$∀x\in M:m≤x$$

Sei x das einzige minimale Element in M.

Daraus folgt: Es gibt kein anderes Element y∈M mit ∀y∈M: y≤m ⇒ x=m

Das heißt in der Definition von "x minimales Element in M" ist x=m nur durch x=x erfüllt. Und weil x ein minimales Element ist, müssen alle anderen y∈M größer sein (d.h. ∀y∈M:x≤y), was genau die Definition vom kleinsten Element in M ist.

MfG,

Doug.

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Hier nochmal die komplette Aufgabe, um es etwas anschaulicher zu machen:

Sei M eine geordnete Menge (wir schreiben die Relation als ≤).

(a)
Sei zunächst M endlich. Zeigen Sie, dass es für jedes y∈M ein minimales x∈M gibt, für das x≤y gilt.

(b)
Sei M endlich und sei x∈M das einzige minimale Element. Ist x dann kleinstes Element von M?

(c)
Sei nun M beliebig und x∈M das einzige minimale Element. Ist x dann kleinstes Element von M?

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Ups, falscher Post :p