(M,≤) sei eine total geordnete Menge. Wie zeige ich: m ist minimal in M ⇔ m ist kleinstes Element von M

Question

Sei (M,≤) eine total geordnete Menge. Zeigen Sie: Für alle m ∈ M gilt die Aussage:
m ist minimal in M ⇔ m is kleinstes Element von M

Problem/Ansatz:
Den einzigen Schritt den ich bis jetzt aufgeschrieben habe ist:
m≤x ⇒ x=m ⇔ m≤x
Ich komme da nicht weiter, wie kann ich das denn beweisen? Hat da jemand paar Tipps? Wäre lieb

Comments

m ist minimal in M ⇔ m ist kleinstes Element von M

Meinst du so? EDIT: Habe das nun oben ergänzt.

Und dann

m≤x ⇒ x=m ⇔ m≤x

Wie meinst du das? Bitte hinschreiben, wie du es vorlesen würdest.

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Ja genau, kleinstes Element von M

Naja also in der Vorlesung haben wir uns die Formeln aufgeschrieben:

Sei (M,≤) geordnete Menge, m∈M heißt
- minimal in M, falls ∀x∈M : (x≤m ⇒ x=m)
- kleinstes Element, falls ∀x∈M : m≤ x

Answer 1

z.z: ⇒

m kleinstes Element ⇔ ∀x∈M : m≤ x

⇒wenn x≤m, dann muss x=m

⇔ m minimal in M

z.z: ⇐

m minimal in M ⇔ ∀x∈M : (x≤m ⇒ x=m)

Sei m' kleinstes El.

⇒ (m'≤m ⇒ m'=m)

⇔m kleinstes Element