Aloha :)
Aus differenzierbar folgt stetig. Oder andersrum, damit eine Funktion differenzierbar ist, muss sie stetig sein:
x↘0limf(x)=x↘0lim(aebx)=ae0=ax↗0limf(x)=x↗0lim(sinh(x)+1)=0+1=1Reichtsseitiger und linksseitiger Grenzwert müssen gleich sein ⇒a=1.
Nun können wir beide Funktionen ableiten und setzen direkt a=1 ein:
f′(x)={bebxcosh(x)x>0x<0
Stetig differnzierbar heißt, dass auch die Ableitung stetig sein muss. Wir wiederholen daher die Überlegungen von oben für die Ableitung:
x↘0limf′(x)=x↘0lim(bebx)=be0=bx↗0limf′(x)=x↗0limcosh(x)=cosh(0)=1
Reichtsseitiger und linksseitiger Grenzwert müssen gleich sein ⇒b=1.