Aufgabe:
Sei R ein faktorieller Ring, p∈R irreduzibel und n∈ℕ0
Sei jetzt M die Menge aller Teiler von pn in R und
sei T die Menge, die alle Einheiten von R und alle Assoziierten der Elemente pk enthält, wobei k∈{0, 1, ..., n} ist.
Behauptung: M=T
Problem/Ansatz:
Ich habe schon gezeigt, dass T⊆M gilt. Jetzt muss ich noch M⊆T zeigen.
Aber da komme ich nicht wirklich weiter.
Ich habe den Satz zur Vrfügung, dass in einem faktoriellen Ring Primelemte und irreduzible Elemente dieselben sind.
Also ist p auch prim.
Unsere Definitionen sind:
Ein Element p heißt irreduzibel, wenn für alle a∈R gilt: Aus a|p folgt dass a eine EInheit oder zu p assoziiert ist.
Ein Element p heißt prim, wenn für a,b∈R gilt: aus p|a*b folgt p|a oder p|b.
Wenn man sich nun ein x hernimmt, dass Teiler von p ist, also x|p, dann folgt sofort, dass x eine Einheit ist oder zu p assoziert.
Aber ich komme nicht mit der Potenz klar, also pn.
Natürlich gibt es auch noch die Eigenschaften des faktoriellen Ringes... Jedes Element ungleich 0 lässt sich zerlegen in ein Produkt aus Einheiten und irreduziblen Elementen.
Abeer damit komme ich auch nicht wirklich weiter.
Kann irgendwer helfen?
