In einem faktoriellen Ring sind alle Teiler von p^n genau folgende Elemente

Question

Aufgabe:

Sei R ein faktorieller Ring, p∈R irreduzibel und n∈ℕ₀

Sei jetzt M die Menge aller Teiler von pⁿ in R und

sei T die Menge, die alle Einheiten von R und alle Assoziierten der Elemente p^k enthält, wobei k∈{0, 1, ..., n} ist.

Behauptung: M=T

Problem/Ansatz:

Ich habe schon gezeigt, dass T⊆M gilt. Jetzt muss ich noch M⊆T zeigen.

Aber da komme ich nicht wirklich weiter.

Ich habe den Satz zur Vrfügung, dass in einem faktoriellen Ring Primelemte und irreduzible Elemente dieselben sind.

Also ist p auch prim.

Unsere Definitionen sind:

Ein Element p heißt irreduzibel, wenn für alle a∈R gilt: Aus a|p folgt dass a eine EInheit oder zu p assoziiert ist.

Ein Element p heißt prim, wenn für a,b∈R gilt: aus p|a*b folgt p|a oder p|b.

Wenn man sich nun ein x hernimmt, dass Teiler von p ist, also x|p, dann folgt sofort, dass x eine Einheit ist oder zu p assoziert.

Aber ich komme nicht mit der Potenz klar, also pⁿ_.

Natürlich gibt es auch noch die Eigenschaften des faktoriellen Ringes... Jedes Element ungleich 0 lässt sich zerlegen in ein Produkt aus Einheiten und irreduziblen Elementen.

Abeer damit komme ich auch nicht wirklich weiter.

_{Kann irgendwer helfen?}