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Aufgabe:

Bestimme alle gemeinsamen Teiler von 2+2\( \sqrt{5i} \) und 6 im Ring ℤ(\( \sqrt{5i} \)).

Zeige, dass es keinen größten gemeinsamen Teiler gibt.

Wobei ℤ \( \sqrt{5i} \):= {m+na:m,n ∈ ℤ} ⊆ ℂ und a ∈ ℂ mit a2 ∈ ℤ


Problem/Ansatz:

Zuerst kann ich 2 ausklammern und erhalte dann 2(1+\( \sqrt{5i} \) ) und zerlege 6 in ihre eigenen Teiler, also da 6=2•3 und 6=1•6 gilt, sind die Teiler von 6 {1,2,3,6}.

Da ich 2 ausklammern konnte ist 2 auf jeden Fall schon mal ein gemeinsamer Teiler. Das heißt, dass ich jetzt noch prüfen muss ob 1,3 und 6 ebenfalls Teiler sind.

Dabei bin ich mir unsicher wie ich hier vorgehen soll. Ich habe bereits gesehen, dass für einen Teiler gilt: a|b ⇔ ∃ c : a= bc. Das ist äquivalent zu |a|=|b|•|c| , was äquivalent zu |a|2=|b|2•|c|2. Dabei würde ich für 1+\( \sqrt{5i} \) quadriert dann 1+5i erhalten. Aber hier weiß ich nicht weiter, also was mir das bringt und ob ich den Term alleine betrachten kann, da ja eigentlich noch die 2 davor steht. Und da ich mich ja in ℤ( \( \sqrt{5i} \)) befinde, muss ich ja auch noch weitere Teiler von 6 betrachten, wie zum Beispiel die negativen Zahlen der Teiler, also –1,–2,–3,–6. Außerdem bleiben ja eventuell noch komplexe Zahlen, oder zumindest Zahlen aus ℤ( \( \sqrt{5i} \))

Der Beweis mit dem ggT, würde ich über einen Widerspruch machen, aber wie genau, da bin ich mir auch nicht sicher. Aber da ℤ (\( \sqrt{5i} \))unendlich ist, kann es ja auch keinen ggT geben.

Das irritiert mich auch an der Aufgabenstellung, da wir zuerst „alle“ zeigen sollen, aber es scheinbar keinen ggT gibt. Vielleicht brauche ich auch eine allgemeine Formel für einige Teiler.

von

Ist das i wirklich unter der Wurzel?

Nein ist es nicht, da habe ich mich bei der Aufgabe verlesen. Danke, das hätte ich sonst nicht bemerkt. Jetzt ergibt das ganze schon mehr Sinn.

Der Ring ist also: $$ \mathbb{Z}[\sqrt{5}i] =\{a+b\sqrt{5}i ~|~ a,b \in \mathbb{Z}\} $$ oder?

Betrachte mal:

$$ (1+\sqrt{5}i)(1-\sqrt{5}i) $$

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