Warum ist die Funktion φ(f)=(f(0),f(1)) von {f: {0,1}->ℕ} auf ℕxℕ bijektiv (Begründung für bereits beantwortete Frage)

Question

Hallo miteinander,

ich soll eine Bijektion zwischen allen Funktionen von {0,1} nach ℕ und der Menge ℕxℕ konstruieren und die Antwort begründen.

Ich habe folgende beantwortete Frage gefunden:

https://www.mathelounge.de/289574/bijektion-konstruieren-zwischen-f-0-1-und-x

und die Antwort auch verstanden. Bis auf die fehlende Begründung: Warum ist φ(f)=(f(0),f(1)) bijektiv?

Für surjektiv wäre mein Ansatz, dass es unendlich viele Funktionen von {0,1} nach ℕ gibt, und somit alle Tupel von ℕxℕ getroffen werden müssen.

Die Injektivität erschließt sich mir nicht ganz. Wie kann man denn nachweisen, dass nicht zwei Funktionen f_a und f_b in φ das gleiche Tupel "ausgeben"?

Danke und LG

Answer 1

Für surjektiv wäre mein Ansatz,:  Sei (x,y) ∈ ℕxℕ.

Dann definiere die Funktion f  von  {0;1}  nach ℕ mit  f(0)=x und f(1)=y.

Dann ist offenbar  φ (f) =  (x,y) .

injektiv:   Seien f und g  Funktionen von  {0;1}  nach ℕ mit

 φ (f)  =  φ (g)

==>   ( f(0) , f(1) ) = ( g(0) ,g(1) )

==>  f(0) = g(0)  und f(1) = g(1)

Also stimmen f und g an allen Stellen ihres Definitionsbereiches überein

==>   f = g.

Comments

Wenn man es dann sieht ist es gar nicht mehr so kompliziert. Vielen Dank für die konkrete und ausführliche Antwort :)