Bijektion von Mengen: Suche eine explizite Bijektion zwischen N und NxNxN.

Question

Aufgabe:

Geben Sie explizit Bijektionen für die folgenden Paare von Mengen an.

1. N und die ungeraden natürlichen Zahlen.

2. \( \mathbb{N} \) und die geraden ganzen Zahlen.

3. \( \mathbb{N} \) und \( \mathbb{N} \times \mathbb{N} \times \mathbb{N} \)

Ansatz:

Die Definition der Bijektion ist an sich klar, dennoch weiß ich nicht weiter.

Answer 1

a) f: n ↦ m= 2n+1         f^{-1}: m ↦ n=(m-1)/2

b) g: n ↦ m= (-1)^n*n - 0.5(sign((-1)^n) - 1)        
g^{-1}: m ↦ n = |m| + 0.5(sign(m) -1)

c) Versuche hier systematisch NxNxN durchzuzählen:

0 ↦ (0,0,0)

1 ↦ (0,0,1)

2 ↦ (0,1,0)

3↦ (1,0,0)

4↦ (1,0,1)

…

↦ (1,1,1)

↦ (0,0,2)

…

↦ (10,10,10)

…

jetzt genauere Formel erfinden. Oder in ein paar Sätzen beschreiben.

Comments

Achtung: b) stimmt noch nicht ganz.

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Habe ich irgendeinen Denkfehler oder lassen sich bei  "G: n ↦ 2n " nur gerade Zahlen darstellen ?

Weil dann wäre die Funktion doch nicht passend für IN oder?

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 "G: n ↦ 2n " nur positive gerade Zahlen darstellen ? ja.

Habe inzwischen einen andern Vorschlag.(oben). Bitte noch genau nachrechnen. Vielleicht kannst das sogar noch vereinfachen.

Alle hier vorkommenden Mengen sind gleichmächtig. Man sagt: Sie enthalten abzählbar unendlich viele Elemente.