Partialbruchzerlegung von g(x)=(-x2-5x-2)/((x-5)(x2+1)) reell und komplex?

Question

Aufgabe:

Bestimme PBZ im reellen und komplexen, sowie max Definitionsbereich.

 g(x)=$\dfrac{-x^2-5x-2}{(x-5)(x^2+1)}$

Problem/Ansatz:

Reell:

$\frac{-x^2-5x-2}{(x-5)(x^2+1)}$ = $\frac{A}{x-5}$+$\frac{Bx+C}{x^2+1}$

⇒ -x²-5x-2 =(A+B)x²+(-5B+C)x+(A-5C)

⇒ (I) A+B= -1   (II) -5B+C=5    (III) A-5C=-2

Die Lsg soll A=-2 B=-1 C=0 sein, jedoch komme ich einfach nicht darauf und verrechne mich jedes mal beim GS, kann mir da jemand helfen?

Komplex:

$\frac{-x^2-5x-2}{(x-5)(x^2+1}$ = $\frac{A}{x-5}$+$\frac{B}{x+i}$+$\frac{C}{x-i}$

komplex habe ich für A=-1/13 B=-3-5i/-2+10i und C=-1-5i/-2-10, jedoch bin ich mir wirklich unsicher, ob das stimmt.Bin für Hilfe sehr dankbar.

Für den Maximal Definitionsbereich gilt einfach C\{5,-i,+i) oder?

LG und Danke.

Comments

Da sollte natürlich (-5B+C)=-5 stehen, trotzdem bin ich damit nicht auf die Lsg gekommen.

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Tut mir leid Vorzeichen verwechselt

zu reell:

(II)= (-5B+C)=-5

und B=1

Answer 1

(I) kannst du mit https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28-x%5E2-5x-2%29%2F%28%28x-5%…

Relativ einfach überprüfen. Hast du g(x) richtig eingegeben (Vorzeichen)? Stimmt der Ansatz? Gemäss meiner Eingabe A = -2 und B = + 1 und C = 0. Du kannst die Eingabe im Link selbst berichtigen. 

Comments

Sorry, ih habe die Vorzeichen verwechselt, habe etwas unordentlich auf meinem Blatt geschrieben.

Ich kenne mich mit Wolfram Alpha nicht so aus, aber es zeigt mir jedoch auch nur die Lösung und nicht wie ich vom GS auf die Werte komme..

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Richtig. Das ist auch zur Kontrolle deiner Resultate gedacht. Damit du den Fehler am richtigen Ort suchen kannst. Somit stimmt 1 dann. Definitionsbereich(1. Teil) = ℝ \ {5}. 

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Genau den Rechenweg wollte ich jedoch haben, da ich einfach nicht auf diese Ergebnisse kommen..

Und zu dem komplexen, gibt es da auch eine Möglichkeit, wie ich die Ergebnisse überprüfen kann?

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Im Komplexen musst du dich nur noch um x/(1+x²) kümmern. Den reellen Summanden hast du ja bereits. D.h. A = -2 kann sich eigentlich nicht mehr ändern.

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Habe meinen Fehler gefunden, und danke.

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Ich habe noch eine Frage, wenn ich mir jetzt x/x²+1 = C/x+i + D/x-i angucke,

müssen C und D i enthalten? Oder können das auch reelle Zahlen(bzw. komplexe) sein?

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Du darfst die Klammern um den Nenner nicht vergessen. D.h. du musst  x/(x²+1) = C/(x+i) + D/(x-i) schreiben. Im folgenden Link kannst du gleich selber testen, was ohne diese Klammern passiert:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=+x%2F%28x%5E2%2B1%29+%3D+C%2F%…

C und D sind hier also beide reell.

Da im ersten Zähler 1*x + 0 steht und 1 und 0 reell sind, sollten C und D reell sein. Hier wird ja bloss ein lineares Gleichungssystem gelöst. Nämlich:

das LGS:

1 = C + D

0 = -C + D