Metrik-Beweis, Formulierung

Question

folgende Aufgabe:

Sei (X, d) ein metrischer Raum und

        t: X x X -> ℝ_>=0 , (x,y) -> d(x,y), falls d(x,y) < 1

                                          -> 1,       falls d(x,y) ≥ 1

Zeige, dass t eine Metrik ist.

Nun bin ich bei der Dreiecksungleichung, also zu zeigen: t(x,y) ≤ t(x,z) + t(z,y)

Da ja d eine Metrik ist, gilt ja schon d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y).

Dass t die Dreiecksungleichung somit erfüllt, sieht man ja. Aber wie schreibe ich den Zusammenhang jetzt mathematisch am besten auf?

Answer 1

zu zeigen: t(x,y) ≤ t(x,z) + t(z,y)

Du hast bei der Definition von t eine Fallunterscheidung. Also mach auch bei der Dreiecksungleichung eine Fallunterscheidung:

Fall 1: t(x,y) < 1 und t(x,z) < 1 und t(z,y) < 1. Warum ist dann t(x,y) ≤ t(x,z) + t(z,y)?

Fall 2: t(x,y) < 1 und t(x,z) < 1 und t(z,y) ≥ 1. Warum ist dann t(x,y) ≤ t(x,z) + t(z,y)?

Fall 3: t(x,y) < 1 und t(x,z) ≥ 1 und t(z,y) < 1. Warum ist dann t(x,y) ≤ t(x,z) + t(z,y)?

Fall 4: t(x,y) < 1 und t(x,z) ≥ 1 und t(z,y) ≥ 1. Warum ist dann t(x,y) ≤ t(x,z) + t(z,y)?

Fall 5: t(x,y) ≥ 1 und t(x,z) < 1 und t(z,y) < 1. Warum ist dann t(x,y) ≤ t(x,z) + t(z,y)?

Fall 6: t(x,y) ≥ 1 und t(x,z) < 1 und t(z,y) ≥ 1. Warum ist dann t(x,y) ≤ t(x,z) + t(z,y)?

Fall 7: t(x,y) ≥ 1 und t(x,z) ≥ 1 und t(z,y) < 1. Warum ist dann t(x,y) ≤ t(x,z) + t(z,y)?

Fall 8: t(x,y) ≥ 1 und t(x,z) ≥ 1 und t(z,y) ≥ 1. Warum ist dann t(x,y) ≤ t(x,z) + t(z,y)?