Binomialverteilung Modellierung

Question

Aufgabe:

Ein extremes Ereignis kommt alle $n \in \mathbb{N}$ Jahre vor. Wir modellieren die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Ereignis in einem Jahr passiert mit 1/n und nehmen an, dass diese extremen Ereignisse unabhängig sind. Es sei $X:\{0, \ldots, n\} \rightarrow \mathbb{R}$ die Zufallsvariable, welche die Anzahl dieser Ereignisse inerhalb von $n$ Jahren modelliert. Berechnen Sie folgende Wahrscheinlichkeiten

a) $\mathbb{P}(X=0)$

b) $\mathbb{P}(X=1)$

c) $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P}(X=0)$

Problem/Ansatz:

a) 

$$P(X=k)=f(k ; n, p)=\left(\begin{array}{c} {n} \\ {k} \end{array}\right) \cdot p^{k} \cdot(1-p)^{n-k}$$

$\mathrm{P}(\mathrm{X}=0)$ $=\left(\begin{array}{l}{n} \\ {0}\end{array}\right) * \frac{1}{n} *\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n-0}$ $=1^{*} 1^{*}\left(\frac{n-1}{n}\right)^{n} \equiv\left(\frac{n-1}{n}\right)^{n}$

b)

$\mathrm{P}(\mathrm{X}=1)$ $=\left(\begin{array}{l}{n} \\ {1}\end{array}\right) * \frac{1}{n} *\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n-1}$ $=n * \frac{1}{n} *\left(\frac{n-1}{n}\right)^{n-1}=\left(\frac{n-1}{n}\right)^{n-1}$

Frage:

Ich bin mir nicht sicher, ob ich richtig vorgehe oder ob man das Ergebnis noch weiter kürzen kann. Außerdem weiß ich nicht, was sich ändern, wenn n sehr groß wird? Exponentiell?

Comments

c) limn→∞ ℙ(X=0) = 1?

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c) lim_n→∞ ℙ(X=0) = 1?

Müsste n hier 

ℙ(X=0) 

nicht vorkommen? 
Ist das eine weitere Teilfrage oder eine Antwort?

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Antowort, ich dachte, dass sich das n wegkürzt wenn es unendlich groß wird

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c) limn→∞ ℙ(X=0) = 1?

Würde das dann bedeuten, dass die Wahrscheilichkeit, dass im Nullten von (undendlich vielen Jahren) das Ereignis eintritt, 1 ist. D.h. dass das Ereignis mit Sicherheit im Nullten Jahr eintritt. (?)

Nebenbei: P steht für oft Wahrscheinlichkeit. Dein "komisches" P eher für Potenzmenge. 

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Wir machen das P doppelt gestrichen. Ok, 1 gibt wirklich keinen Sinn

Answer 1

Zu deinem Vorschlag bei a)

(n tief 0) ist 1. Das stimmt.

1/n musst du "hoch 0" rechnen. Damm kommt dort auch 1 raus.

D.h. das Resultat könnte passen.

c)

Das Resultat von a) geht im Grenzübergang vielleicht gegen e^(-1) . D.h. den Kehrwert der Eulerschen Zahl

https://de.wikipedia.org/wiki/Exponentialfunktion#Definition 

https://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Zahl#Definition

Allerdings ist auch das eher erstaunlich. Eine "fixe" positive Wahrscheinlichkeit.