Aufgabe (Die Eulersche Zahl e):
1. Zeigen Sie, dass die folgenden beiden Zahlenfolgen \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}},\left(b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) eine Intervallschachtelung bilden:
\( a_{n}=\sum \limits_{k=0}^{n} \frac{1}{k !}, \quad b_{n}=\sum \limits_{k=0}^{n} \frac{1}{k !}+\frac{1}{n ! n}, \)
Der Grenzwert \( \lim a_{n}=\lim b_{n} \) wird mit \( e \) bezeichnet und Eulersche \( Z a h l \) genannt.
2. Zeigen Sie, dass die Folge \( \left(c_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \), gegeben durch \( c_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} \), ebenfalls gegen \( e \) konvergiert.
Hinweis: Zeigen Sie, dass \( \left(c_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) monoton wachsend ist und \( c_{n} \leq a_{n} \) gilt, die Folge also speziell beschränkt durch \( e \) ist und damit konvergiert. Weisen Sie anschließend nach, dass \( \lim c_{n} \geq a_{n} \) für alle \( n \in \mathbb{N} \) erfüllt ist.
Meine Frage ist nun was eine Intervallschachtelung ist und wie ich dies zeige. Ich habe keine Ahnung wie ich an diese Aufgabe heran gehen soll, wäre also über jeden Tip erfreut.
