Die Abb der kanonischen Basis sieht so aus:
Das ist die kanonischen Basis
\( \begin{pmatrix} 1\\0\\0\\0 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 0\\1\\0\\0 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 0\\0\\1\\0 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 0\\0\\0\\1 \end{pmatrix} \)
Die Abb soll so sein:
\( \begin{pmatrix} 1\\0\\0\\0 \end{pmatrix} \) → \( \begin{pmatrix} 2\\1\\1 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 0\\1\\0\\0 \end{pmatrix} \)→ \( \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 0\\0\\1\\0 \end{pmatrix} \)→ \( \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 0\\0\\0\\1 \end{pmatrix} \)→ \( \begin{pmatrix} -1\\1\\-2 \end{pmatrix} \) ,
Die Abb.Matrix besteht einfach aus den Zielvektoren:
A = \( \begin{pmatrix} 2 & 0 &1 &-1 \\ 1 & 0 &0 &1 \\ 1 & 0 &1 &-2 \end{pmatrix} \)
Probier es aus:
\( \begin{pmatrix} 2 & 0 &1 &-1 \\ 1 & 0 &0 &1 \\ 1 & 0 &1 &-2 \end{pmatrix} \) * \( \begin{pmatrix} 1\\0\\0\\0 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 2\\1\\1 \end{pmatrix} \) usw.
Der Kern der Matrix sind die Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden. Also ausrechnen:
\( \begin{pmatrix} 2 & 0 &1 &-1 \\ 1 & 0 &0 &1 \\ 1 & 0 &1 &-2 \end{pmatrix} \) * \( \begin{pmatrix} x\\y\\z\\w \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} \)
Löse das LGS:
Es kommt heraus: alle Vektoren \( \begin{pmatrix} -z\\y\\3z\\z \end{pmatrix} \)
also nimm als Basisvektoren des Kerns: \( \begin{pmatrix} 0\\1\\0\\0 \end{pmatrix} \) und \( \begin{pmatrix} -1\\0\\3\\1 \end{pmatrix} \)
Kern ={\( \begin{pmatrix} 0\\1\\0\\0 \end{pmatrix} \) *k+\( \begin{pmatrix} -1\\0\\3\\1 \end{pmatrix} \)*j, k,j∈ℝ}
dim(Kern f) = 2, weil die Basis zwei Vektoren enthält.
dim(Bild f) = rang(A) =2, da
dim(Kern f) + dim(Bild f) = dim (Definitionsbereich) = dim ℝ4 =4
