Aloha :)
$$f(x) = \begin{cases} \frac{x^2+3x-10}{(x-5)(x-2)}\quad;\quad x\le8\,,\,x\ne0\\ -4 \quad\!\quad\quad\quad ; \quad x=0\\ x-\frac{11}{3}\quad\;\quad;\quad x \gt 8 \end{cases} $$
zu a)
Die Funktion ist nicht definiert bei \(x=5\) und bei \(x=2\), weil man dann durch \(0\) dividieren würde.$$\Rightarrow\text{ nicht definiert für } \{2,5\}$$zu b)
Die Funktion ist unstetig bei ihren Definitionslücken \(x=2\) und \(x=5\). Weiter gibt es noch die kritischen Übergänge bei \(x=0\) und bei \(x=8\). Diese schauen wir uns genauer an:$$\lim\limits_{x\to0}\frac{x^2+3x-10}{(x-5)(x-2)}=\frac{0+0-10}{(0-5)(0-2)}=\frac{-10}{10}=-1\ne-4$$Gemäß des ersten Falls müsste die Funktion den Punkt \((0|1)\) haben, um bei \(x=0\) stetig zu sein. Sie hat aber gemäß des zweiten Falls den Punkt \((0|-4)\). Daher ist die Funktion bei \(x=0\) unstetig. Bleibt noch die Betrachtung von \(x=8\):$$\lim\limits_{x\nearrow8}\frac{x^2+3x-10}{(x-5)(x-2)}=\frac{64+24-10}{3\cdot6}=\frac{78}{18}=\frac{13}{3}$$$$\lim\limits_{x\swarrow8}\left(x-\frac{11}{3}\right)=8-\frac{11}{3}=\frac{24}{3}-\frac{11}{3}=\frac{13}{3}$$Bei \(x=8\) sind der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert gleich, daher ist die Funktion bei \(x=8\) stetig.$$\Rightarrow\text{ unstetig für } \{0, 2, 5\}$$zu c)
Aus Differnzierbarkeit folgt Stetigkeit. Im Umkehrschluss heißt das, aus Unstetigkeit folgt Nicht-Differenzierbarkeit. Wir brauchen also nur noch den Übergang bei \(x=8\) auf Stetigkeit zu untersuchen. Dazu bilden wir die linksseitige und die rechtsseitige Ableitung:
$$\left(\frac{x^2+3x-10}{(x-5)(x-2)}\right)'=\left(\frac{(x+5)(x-2)}{(x-5)(x-2)}\right)'=\left(\frac{x+5}{x-5}\right)'$$$$=\left(\frac{x-5+10}{x-5}\right)'=\left(1+\frac{10}{x-5}\right)'=-\frac{10}{(x-5)^2}$$$$\Rightarrow\;\;f'_-(8)=-\frac{10}{9}$$$$\left(x-\frac{11}{3}\right)'=1\quad\Rightarrow\quad f'_+(8)=1$$Die linksseitige Ableitung \(f'_-(8)\) ist ungleich der rechtsseitigen Ableitung \(f'_+(8)\), d.h. die Funktion ist auch bei \(x=8\) nicht differenzierbar.$$\Rightarrow\text{ nicht differenzierbar für } \{0, 2,5, 8\}$$zu d)
Unter b) haben wir bereits gezeigt, dass sich die Unstetigkeit bei \(x=0\) nicht beheben lässt. Bleiben noch die beiden Unstetigkeiten bei den Definitionslücken \(x=2\) und \(x=5\) zu untersuchen. Dazu schauen wir uns den Fall \(x\le8\) der Funktionsgleichung genauer an:$$\frac{x^2+3x-10}{(x-5)(x-2)}=\frac{(x+5)(x-2)}{(x-5)(x-2)}=\frac{x+5}{x-5}$$Wir können also mit dem Faktor \((x-2)\) kürzen, so die Unstetigkeit bei \(x=2\) aufheben und den fehlenden Funktionswert berechnen: \(f(2)\to\frac{2+5}{2-5}=-\frac{7}{3}\).$$\Rightarrow\text{ stetig fortsetzbar für } \{2\}$$
