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Aufgabe:


         { \( \frac{x² + 3x −10 }{(x − 5) (x − 2)} \)  , x ≤ 8, x ≠ 0

f(x) = { − 4             , x = 0

         { x − \( \frac{11}{3} \)        , x > 8

a) An welchen Stellen ist die Funktion f nicht definiert ?

b) An welchen Stellen ist die Funktion f nicht stetig?

c) An welchen Stellen ist die Funktion f nicht differenzierbar?

d) An welchen Stellen ist die Funktion f stetig fortsetzbar?

Geben Sie die Stelle(n) jeweils als Menge {x₁, x₂, ...} ein. Falls keine entsprechenden Stellen existieren, geben Sie { } ein.

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand bitte weiterhelfen

von

1 Antwort

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Aloha :)

$$f(x)=\cases{ \frac{x^2+3x-10}{(x-5)(x-2)}\quad;\quad x\le8\,,\,x\ne0\\ -4 \quad\!\quad\quad\quad ; \quad x=0\\ x-\frac{11}{3}\quad\;\quad;\quad x>8}$$zu a)

Die Funktion ist nicht definiert bei \(x=5\) und bei \(x=2\), weil man dann durch \(0\) dividieren würde.$$\Rightarrow\mbox{ nicht definiert für } \{2,5\}$$zu b)

Die Funktion ist unstetig bei ihren Definitionslücken \(x=2\) und \(x=5\). Weiter gibt es noch die kritischen Übergänge bei \(x=0\) und bei \(x=8\). Diese schauen wir uns genauer an:$$\lim\limits_{x\to0}\frac{x^2+3x-10}{(x-5)(x-2)}=\frac{0+0-10}{(0-5)(0-2)}=\frac{-10}{10}=-1\ne-4$$Gemäß des ersten Falls müsste die Funktion den Punkt \((0|1)\) haben, um bei \(x=0\) stetig zu sein. Sie hat aber gemäß des zweiten Falls den Punkt \((0|-4)\). Daher ist die Funktion bei \(x=0\) unstetig. Bleibt noch die Betrachtung von \(x=8\):$$\lim\limits_{x\nearrow8}\frac{x^2+3x-10}{(x-5)(x-2)}=\frac{64+24-10}{3\cdot6}=\frac{78}{18}=\frac{13}{3}$$$$\lim\limits_{x\swarrow8}\left(x-\frac{11}{3}\right)=8-\frac{11}{3}=\frac{24}{3}-\frac{11}{3}=\frac{13}{3}$$Bei \(x=8\) sind der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert gleich, daher ist die Funktion bei \(x=8\) stetig.$$\Rightarrow\mbox{ unstetig für } \{0, 2, 5\}$$zu c)

Aus Differnzierbarkeit folgt Stetigkeit. Im Umkehrschluss heißt das, aus Unstetigkeit folgt Nicht-Differenzierbarkeit. Wir brauchen also nur noch den Übergang bei \(x=8\) auf Stetigkeit zu untersuchen. Dazu bilden wir die linksseitige und die rechtsseitige Ableitung:

$$\left(\frac{x^2+3x-10}{(x-5)(x-2)}\right)'=\left(\frac{(x+5)(x-2)}{(x-5)(x-2)}\right)'=\left(\frac{x+5}{x-5}\right)'$$$$=\left(\frac{x-5+10}{x-5}\right)'=\left(1+\frac{10}{x-5}\right)'=-\frac{10}{(x-5)^2}$$$$\Rightarrow\;\;f'_-(8)=-\frac{10}{9}$$$$\left(x-\frac{11}{3}\right)'=1\quad\Rightarrow\quad f'_+(8)=1$$Die linksseitige Ableitung \(f'_-(8)\) ist ungleich der rechtsseitigen Ableitung \(f'_+(8)\), d.h. die Funktion ist auch bei \(x=8\) nicht differenzierbar.$$\Rightarrow\mbox{ nicht differenzierbar für } \{0, 2,5, 8\}$$zu d)

Unter b) haben wir bereits gezeigt, dass sich die Unstetigkeit bei \(x=0\) nicht beheben lässt. Bleiben noch die beiden Unstetigkeiten bei den Definitionslücken \(x=2\) und \(x=5\) zu untersuchen. Dazu schauen wir uns den Fall \(x\le8\) der Funktionsgleichung genauer an:$$\frac{x^2+3x-10}{(x-5)(x-2)}=\frac{(x+5)(x-2)}{(x-5)(x-2)}=\frac{x+5}{x-5}$$Wir können also mit dem Faktor \((x-2)\) kürzen, so die Unstetigkeit bei \(x=2\) aufheben und den fehlenden Funktionswert berechnen: \(f(2)\to\frac{2+5}{2-5}=-\frac{7}{3}\).$$\Rightarrow\mbox{ stetig fortsetzbar für } \{2\}$$

von 19 k

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