0 Daumen
808 Aufrufe

Aufgabe:

b) Geben Sie eine quadratische Funktion \( q: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \) an (eine Funktion genügt, Sie brauchen nicht alle Möglichkeiten zu finden), so dass $$ f:(0, \infty) \longrightarrow \mathbb{R}, \quad f(t)=\left\{\begin{array}{ll} {\frac{q(t)}{t^{2}+3 t-18}} & {\text { wenn } t \neq 3} \\ {2} & {\text { wenn } t=3} \end{array}\right. $$

stetig bei 3 ist. Begründen Sie Ihre Antwort anhand der Definition von Stetigkeit.

Avatar von

2 Antworten

+2 Daumen

Aloha :)

Wegen \(t^2+3t-18=(t+6)(t-3)\) kannst du die Funktion auch wie folgt schreiben:

$$f(t) = \begin{cases} \frac{q(t)}{(t+6)(t-3)}\quad;\quad t\ne3\\2\quad\quad\quad\;\quad;\quad t=3 \end{cases} $$

Wenn \(f(t)\) bei \(t=3\) stetig sein soll, müssen wir die Definitionslücke bei \(t=3\) [Division druch 0] stetig beheben können. Dafür muss der Zähler \(q(t)\) durch \((t-3)\) teilbar sein. Da weiter \(q(t)\) quadratisch sein soll, haben wir als Form:$$q(t)=a(t-b)\cdot(t-3)\quad;\quad a\ne0$$

Mit diesem \(q(t)\) lautet dann der Fall \(t\ne3\):$$\frac{q(t)}{(t+6)(t-3)}=\frac{a(t-b)\cdot(t-3)}{(t+6)(t-3)}=\frac{a(t-b)}{t+6}$$

Speziell an der Stelle \(t=3\) muss dieser Term den Wert \(2\) haben, weil \(f(3)=2\) als Fall fest vorgegeben ist:$$\frac{a(3-b)}{3+6}\stackrel{!}{=}2\quad\Leftrightarrow\quad a(3-b)=18$$Laut Aufgabenstellung reicht es aus, eine Funktion \(q(t)\) anzugeben, daher wählen wir z.B. \(b=0\) und \(a=6\) aus:$$q(t)=6t(t-3)$$

Avatar von 148 k 🚀

Schöne Vorgehensweise, völlig ohne L'Hospital!

+1 Daumen

Es soll \(\lim\limits_{t\to 3}\frac{q(t)}{t^2+3t-18}\overset{(*)}=\lim\limits_{t\to 3}\frac{q'(t)}{2t+3}=\frac{q'(3)}{9}\overset{!}=2\) gelten.

Daraus folgen die Bedingungen \(q(3)=0\) und \(q'(3)=18\).

Wähle \(q(t)=at^2+b\) als Ansatz und erhalte \(q(t)=3t^2-27\).

In \((*)\) verwende ich den Satz von L'Hospital für \(\frac{0}{0}\).

Avatar von 28 k

Q(t) muss aber quadratisch sein?

Oh, das hatte ich überlesen. Einen Moment.

Das war doch die richtige Antwort von Ihnen ?

Eine Lösung ist \(3t^2-27=q(t)\).

ist diese Aufgabe auch nach dem selben Schema zu lösen?

Aufgabe 2: Für welche \( k \in \mathbb{R} \) ist die Funktion

$$ f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \quad f(x)=\left\{\begin{array}{ll} {k x} & {\text { wenn } x \leq 1} \\ {x^{2}+3} & {\text { wenn } x>1} \end{array}\right. $$
bei 1 stetig? Begründen Sie Ihre Antwort anhand der Definition von Stetigkeit.
and

Hier musst du den linksseitgen Grenzwert gegen 1 betrachten. An der Nahstelle \(x=1\) muss rechts- mit dem linksseitigen Grenzwert übersteinstimmen.

Ferner kenne ich die Definition von Stetigkeit nicht, die ihr anwendet. Ich vermute \(\varepsilon\)-\( \delta\)-Definition?

Die Definition lautet


f: R —> R stetig bei 1, wenn lim x—> 1 = f(1) gilt.

Ja, dann so wie ich es gesagt habe. Fragen bitte separat stellen.

Der links und rechtsseitige Limes ist nur bei x^2+ 3 gleich?

Bitte Fragen nicht in den Kommentaren stellen und beantworten. Tanne07 stellt die Fragen häufig mehrfach.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community