Konvergente Reihe wenn in der harmonischen Reihe alle Summanden mit Einsen im Nenner entfernt werden?

Question

Aufgabe: Nenner ohne 1en

Konvergente Reihe wenn in der harmonischen Reihe alle Summanden mit Einsen im Nenner entfernt werden? 

Sei \( M \subseteq \mathbb{N} \) die Menge der natürlichen Zahlen, die in ihrer Dezimaldarstellung die Ziffer 1 nicht enthalten, und sei \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathrm{N}} \) die Folge, die \( M \) in aufsteigender Reihenfolge abzählt, also:

$$ \begin{array}{l} {a_{1}=2, \ldots, a_{8}=9, a_{9}=20, a_{10}=22, a_{11}=23, \ldots, a_{17}=29} \\ {a_{18}=30, a_{19}=32, a_{20}=33, \ldots, a_{80}=99, a_{81}=200, a_{82}=202, \ldots} \end{array} $$
Beweisen Sie, dass die Reihe der Kehrwerte konvergiert:
$$ \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_{n}}<\infty $$

Answer 1

Ohne die Ziffer 1 gibt es 8 einstellige Zahlen, die alle ≥2 sind.

Ohne die Ziffer 1 gibt es 8*9 zweistellige Zahlen, die alle ≥20 sind.

Ohne die Ziffer 1 gibt es 8*9*9 dreistellige Zahlen, die alle ≥200 sind.

Ohne die Ziffer 1 gibt es 8*9*9*9 dreistellige Zahlen, die alle ≥2000 sind

usw.

Wenn wir jetzt nicht die Zahlen selbst, sondern ihre Reziproken betrachten, haben wir

8 Reziproke jeweils ≤0,5 (deren Summe ist kleiner als 4)

8*9 Reziproke jeweils ≤0,05 (deren Summe ist kleiner als 0,9*4)

8*9*9 Reziproke jeweils ≤0,005 (deren Summe ist kleiner als 0,9*0,9*4)

8*9*9*9 Reziproke jeweils ≤0,0005 (deren Summe ist kleiner als 0,9*0,9*0,9*4)

usw.

Das sollte dir den Weg weisen...