Wächst x schneller als die Exponentialfunktion e^nx (n größer 0)

Question

wächst x stärker gegen unendlich als die exponentialfunktion e^nx? (n größer null)


hab ein beispiel gelöst bei dem das rauskommt und jetzt war ich mir nicht sicher, ob das stimmen kann.

Answer 1

Das kann nicht stimmen. Zwar ist der Wert der Exponentialfunktion (in Abhängigkeit von n) bis zu einer bestimmten Stelle x₀ kleiner als der Wert von x, ab dieser Stelle jedoch ist exp(x) größer als x und wächst dann viel stärker als x, typisch "exponentiell" eben. Das gilt auch für sehr kleine n, wie folgendes Schaubild für n = 0,001 zeigt:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%2Cexp%28.001x%29+from+0to10000

Comments

ok, vielleicht kannst du mir da weiterhelfen:


Meine Aufgabe ist es  den Grenzwert für alle positiven reellen Zahlen n zu berechnen von:


lim  (x)/ (exp(xn))
x-> infty

ich hab den satz von l'hospital angewandt und da kommt heraus:

lim (x)/ (expnx) = lim (1)/ (e(nx)*n= 1/n lim e(nx)= unendlich

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Nein, da hast du am Schluss einen "kleinen" Fehler gemacht. So ist es richtig:
$$\lim _{ x\rightarrow \infty  }{ \frac { x }{ { e }^{ nx } }  } =\lim _{ x\rightarrow \infty  }{ \frac { 1 }{ n{ e }^{ nx } }  } =\frac { 1 }{ n } \lim _{ x\rightarrow \infty  }{ \frac { 1 }{ { e }^{ nx } }  } =\frac { 1 }{ n } *0=0$$