Ableitung von Funktionenschar: fa(t) = a*t^2 * e^(-a*t) + 2

Question

Ich brauche eure Hilfe und zwar eine tolle Erklärungen für 1. und 2. Ableitungen. Ich habe große Probleme mit den Ableitungen von Exponentialfunktion mit Buchstaben, weil ich nicht verstanden habe, wie man gerechnet wird und wie das Rechenweg geht. Kann jemand von euch ganz lieb erklären wie das geht. Aber bitte in jede Schritt für Anfänger. (Mit Produktregel u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x)) Wäre ganz lieb, wenn einer mir leicht in jede Schritten zeigen kann :-)

Die Funktion lautet: f_a(t) = a*t² * e^-a*t + 2

Answer 1

f_a ( t ) = a * t ² * e ^{- a * t} + 2

Beim Ableiten nach t wird a als Konstante betrachtet, e bezeichnet hingegen die Exponentialfunktion.

Setze:

u ( t ) = a * t ² => u ' ( t ) = 2 * a * t

v ( t ) = e ^{- a * t}  => v ' ( t ) = ( "innere Ableitung * äußere Ableitung" ) = ( - a ) * e ^{- a * t}

Die additive Konstante 2 wird beim Ableiten zu Null.

Also:

f_a ' ( t ) = u ' ( t ) * v ( t ) + u ( t ) * v ' ( t )

= 2 * a * t * e ^{- a * t}  + a * t ² * ( - a ) * e ^{- a * t} 

= 2 * a * t * e ^{- a * t}  - a ² * t ² * e ^{- a * t} 

= e ^{- a * t}  * ( 2 * a * t - a ² * t ² )

Answer 2

  f_a(t) = a*t² * e^-a*t + 2

  u  = a * t^2
  u´ = 2*a*t^{2-1} = 2*a*t

  v = e^{-a*t}
  v´= v * ableitung(exponent)
  v´ = e^{-a*t} * (-a)
  v´ = -a*e^{-a*t}

  fa´( t ) = u´ * v  +  u * v´
  fa´( t ) = 2*a*t * e^{-a*t}  +  a * t^2 *  (-a)*e^{-a*t}

  fa´( t ) = e^{-a*t} * ( 2*a*t   -  a^2 * t^2  )  l wer will kann noch weiter zusammenfassen 
  fa´( t ) = e^{-a*t} * a * t ( 2   -  a * t  ) 

  Für die 2.Ableitung nehme ich

  fa´( t ) = e^{-a*t} * ( 2*a*t   -  a^2 * t^2  )

  weil ich dann ein Produkt mit t in jedem Faktor habe

  fa´´(t) = -a*e^{-a*t} * ( 2*a*t   -  a^2 * t^2  ) + e^{-a*t} * ( 2*a - a^2*2*t)

  Der Term kann noch zusammgefaßt werden.

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  mfg Georg

Comments

Ok danke. Ich hab gerad auch geschafft 1. Ableitung zu lösen und hab jetzt endlich verstanden. Aber zweite Ableitung habe ich noch Problem, denn es  sollte das Ergebnis f_a(t) = ae^-at * (2 - 4at + a²t²) sein und da begreife ich eigentlich immer noch nicht, wie ich diese Ergebnis lösen kann?

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  ich schrieb

  fa´´(t) = -a*e^-a*t * ( 2*a*t   -  a² * t²  ) + e^-a*t * ( 2*a - a²*2*t) 

  Der Term kann noch zusammengefaßt werden. Was ich hiermit durchführe

  fa´´(t) = -a*e^-a*t * ( 2*a*t   -  a² * t²  ) + a*e^-a*t * ( 2 - a*2*t )

  fa´´(t) = -a*e^-a*t * ( 2*a*t   -  a² * t²  -  2 + a*2*t)

  fa´´(t) = -a*e^-a*t * ( -a² * t²  -  2 + 4*a*t)

  fa´´(t) = a*e^-a*t * ( a² * t²  +  2 - 4*a*t )

  fa´´(t) = a*e^-a*t * (  2 - 4at  + a² * t² )

  mfg Georg

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Oh, es ist sehr schwierig zu begreifen wie du gelöst hast. Beste Erklärung wäre mit Farben, da ich noch nicht klar geworden wieso -a minus am Ende weg ist. Ich mag einfach Rechnung mit Buchstaben nicht, da ich totale Schwierigkeiten habe. Könntest du vielleicht mit Farben machen, damit ich leichter verstehen kann? Und hoffentlich kann ich dann damit durch dein Hilfe beim nächsten mal verstehen und selbstständig machen kann.

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  du mußt die Umformung von Termen aus Lehrbüchern und durch Üben erlernen. Einen anderen
Weg gibt es nicht.

  " da ich noch nicht klar geworden wieso -a minus am Ende weg ist. "

  im Term wurde 2 Mal mit -1 multipliziert, die sich wiederaufheben
  ( -1 ) * ( -1 ) = 1

  fa´´(t) = -a * (-1 ) *e^-a*t * ( -a² * t²  -  2 + 4*a*t)*(-1)

  ergibt

  fa´´(t) = a*e^-a*t * ( a² * t²  +  2 - 4*a*t )

  mfg Georg