Konvergenz prüfen quotientenkriterium

Question

Aufgabe:

…

Reihe auf konvergenz prüfen\( \frac{n! (n+1)!}{(2n)!} \)

Problem/Ansatz:

Ich bin bis jetzt so weit gekommen

Kann aber nicht mehr vereinfachen 

Text erkannt:

\( \frac{(n+1) !(n+2) ! \cdot(2 n !)}{(2 n+2) ! \cdot n !(n+1)^{+}}=\frac{(n+2) !(2 n !)}{(2 n+2) ! \cdot n !} \)

Answer 1

Hinweis 1:

(2n + 2)! = (2n)!*(2n + 1)*(2n + 2)

Hinweis 2:

(n+2)! = n!*(n+1)*(n+2)=(n+1)!*(n+2)

Hinweis 3:

Du arbeitest dort nach dem Quotientenkriterium d.h.

$$ \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|\left\{\begin{array}{ll}{<1} & {\text { Die Reihe konvergiert }} \\ {=1} & {\text { Keine Aussage über die Konvergenz ist möglich }} \\ {>1} & {\text { Die Reihe divergiert }}\end{array}\right. $$

Comments

So dann komm ich jetzt auf \( \frac{(n+1)(n+2)}{2n+1)(2n+2} \)

Muss ich jetzt nurnich die klammern ausrechnen und zusammenfassen?

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Genau das wäre eine Idee!

Wenn du das vereinfacht hast, dann machst du eine Grenzwertbetrachtung für n gegen unendlich

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Nach dem klammer auflösen hab ich da jetzt

\( \frac{n^2+2n+n+2}{4n^2+4n+2n+2} \)

Ich würde jetzt die 2n kürzen und die 2

Und dann n^2 ausklammern

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Absolut richtig! Und dann kannst du deine Grenzwertbetrachtung machen, das müsste, wenn ich mich nicht verguckt habe auf 1/4 hinaus laufen... Das heißt, die Reihe konvergiert :)

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Endlich hab ich es auch verstanden!!!!

Hinweis 1 und 2 waren sehr hilfreich

Vielen Dank!

Ich hab jetzt eine neue Aufgabe und weiß nicht wie man 2((n+1)!) ^2 vereinfachen bzw. umschreiben kann

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JA, da könntest du dann verwenden, dass 2((n+1)!)^2 = 2(n+1)^2(n!)^2 ist :)

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Also wäre dann \( \frac{2^n(n!)^2}{2n)!} \) = \( \frac{2(n+1)^2 }{(2n+1)(2n+2) } \)

?

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"JA, da könntest du dann verwenden, dass 2((n+1)!)^2 = 2(n+1)^2(n!)^2 ist :)"

bezog sich auf:

"... Ich hab jetzt eine neue Aufgabe und weiß nicht wie man 2((n+1)!)^2 vereinfachen bzw. umschreiben kann"

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Aber der

\( \frac{2^n(n!)^2}{2n)!} \) = \( \frac{2(n+1)^2 }{(2n+1)(2n+2) } \) ist auch richtig? 

Kann ich da denn jetzt schon n gegen unendlich ziehen oder muss ich noch weiter vereinfachen?

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Deine Umformung ist hier noch nicht richtig, du hast irgendwie das 2^n weggelassen und (n!)^2 = n!*n!, und 2n! könnte man dann mit einem der n!n! des Zählers kürzen. Dann bliebe aber noch ((2^n)*n!)/2

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Also in den Lösungen steht das da n+2/4n+2

Rauskommen muss

Das ist ja bei mir nicht der Fall :/

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Wo jetzt bei der ersten oder der zweiten Aufgabe? Ich bin etwas irritiert gerade. Kannst du vielleicht einmal die Zweite Aufgabe in voller Länge reinstellen?

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Bei der zweiten

2^n (n!)^2 / (2n)! Das ist die ganze Aufgabe

Sry haha

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Also angenommen da steht:

$$ \frac{2^n\cdot (n!)^2}{(2n)!}=a_n $$

$$ \frac{2^{n+1}\cdot ((n+1)!)^2}{(2(n+1))!}=a_{n+1} $$

Demnach:

$$ \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| $$

$$ \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left|\frac{\frac{2^{n+1}\cdot ((n+1)!)^2}{(2n+2)!}}{\frac{2^n\cdot (n!)^2}{(2n)!}}\right| \\ = \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left|\frac{2^{n+1}((n+1)!)^2(2n)!}{2^n(2n+2)!(n!)^2}\right| \\ = \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left|\frac{2((n+1)!)^2(2n)!}{(2n+2)!(n!)^2}\right| \\ = \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left|\frac{2((n+1)!)^2(2n)!}{(2n)!(2n+1)(2n+2)(n!)^2}\right| \\ = \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left|\frac{2((n+1)!)^2}{(2n+1)(2n+2)(n!)^2}\right| \\ = \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left|\frac{2(n+1)^2(n!)^2}{(2n+1)(2n+2)(n!)^2}\right| \\ = \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left|\frac{2(n+1)^2}{(2n+1)(2n+2)}\right| \\ = \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left|\frac{2(n+1)^2}{2(2n+1)(n+1)}\right| \\ = \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left|\frac{(n+1)^2}{(2n+1)(n+1)}\right| \\ = \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left|\frac{(n+1)}{(2n+1)}\right|$$

Welches Buch benutzt du?

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Jetzt hab ich es auch endlich verstanden

Wir haben ein Skript von der Uni Duisburg

Bin Student im ersten Semester..